曲線は大きく代数曲線と超越曲線の２つに分けられる．したがって，超越曲線とは代数曲線でない曲線であって，対数関数や指数関数がそれに属する．それに対して，

　　Σａkｘ^iｙ^j＝０　　（ｉ＋ｊ≦ｎ）

で表される曲線が次数ｎの代数曲線である．

　平面内ｎ次曲線ｆ（ｘ，ｙ）＝０の一般式の項数は，

　　3Ｈn＝n+2Ｃn＝（ｎ＋２）（ｎ＋１）／２

で計算される．

　次数が３以上の曲線の場合，接線が定義できない点が存在する．この点を特異点という．

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【１】２次曲線

　２変数ｘ，ｙの多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０で定義される曲線を平面代数曲線と呼びます．ｆ（ｘ，ｙ）＝０が２次式の場合，その一般式は，

　　ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋ｅ＝０

のごとく，項数６の多項式として書くことができます．２次曲線には楕円，放物線，双曲線があり，それらは円錐（必ずしも直円錐でなくてよい）を平面で切断したときの切り口として現れる一群の曲線，すなわち円錐曲線として古代ギリシャにおいて完全に考察されていました．ある緯度の位置に立てられた棒の影の先端が描く曲線は，その緯度によって楕円，放物線，双曲線のいずれかを描きます．

　２点を決めれば２点を通る直線の方程式は得られます．２次曲線の方程式は

　　ａｘ^2＋ｈｘｙ＋ｂｙ^2＋ｃｘ＋ｄｙ＋１＝０

で与えられるので，代数的には平面上の任意の位置にある５点が唯一の円錐曲線を決定します．ニュートンは「プリンキピア」のなかで５点を通る円錐曲線の作図法などを案出しながら壮大な天体力学を展開しています．

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【２】３次曲線

　同様に，３次曲線とはｆ（ｘ，ｙ）＝０が２変数ｘ，ｙの３次あるいは３次以下の方程式で与えられた曲線です．ニュートンは任意の３次曲線がアフィン変換により

　　ａｘ^3＋ｂｘ^2ｙ＋ｃｘｙ^2＋ｄｘ^2＋ｅｘｙ＋ｆｙ^2＋ｇｘ＋ｈｙ＋ｉ＝０

という形で与えられることに注目しました．

　３次曲線の分類には，２次曲線とは異なった種類の難解さが要求されましたが，ニュートンはあらゆる場合を考察して，最終的に３次曲線は全部で７８種類が必要であることを示すに至り，さらに３次曲線の一般式が５個の標準形に帰することを示しました．ニュートンはこうした研究を応用して，２次曲線上の５点，３次曲線上の７点が与えられた場合にこれを作図する方法を見いだしています．

［補］ニュートンは係数の値によってとりうる３次曲線の形を７２種類挙げた．しかし，実際には７８種類あり，残り６種類のうち４種類はスターリング，２種類はニコルとベルヌーイが発見している．

［補］代数幾何学において重要な変換に双有理変換（クレモナ変換）があるが，ニュートンは楕円，放物線，双曲線から３次曲線を得るのに双有理変換を使っている．この例からわかるように代数曲線の次数は双有理変換で不変ではないが，種数は不変である．すなわち，ニュートンは代数操作という変換を用いており，７８種類というのは（幾何学的な分類ではなく）代数的な分類となっている．プリュカーは幾何学的な分類方法によって３次曲線を２１９種に分類している（１８３５年）．

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【３】４次曲線

　ニュートンの３次曲線の分類に引き続いて，オイラーは４次平面曲線の分類を企てましたが，可能な場合の数が非常に多いという理由で断念しています．この問題に対する答えは長い間知られていなかったのですが，プリュッカーが１９世紀に４次曲線の１５２の型を数え上げることによって解かれました．プリュッカーはオイラーが４次曲線の分類で犯した多くの誤りを見つけたのですが，１８世紀の解析幾何とは違って，高次曲線，曲面は解析幾何の対象ではなく，代数幾何の分野となりました．

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