８角形・１０角形に対しては星形８／３，１０／３角形も考えられるところであるが，この場合も実際に定式化してみると，星形でない場合とまったく同一の問題になることがわかるだろう．

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【１】ｎ＝８の星形化（星形８／３角形）

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｙ3），Ｄ（ｘ4，ｒ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓθ−ｒｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓθ＋ｙ2ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　ｘ3ｃｏｓφ＋ｙ3ｓｉｎφ＝ｒ

　　ｘ3ｃｏｓψ＋ｙ3ｓｉｎψ＝ｒ

　　ｘ4ｃｏｓψ＋ｒｓｉｎψ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ3^2＋（ｙ3＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ4^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφとψを消去するにはどうしたらよいか？

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【２】ｎ＝１０のの星形化（星形１０／３角形）

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（ｘ1，−ｒ），Ｂ（ｘ2，ｙ2），Ｃ（ｘ3，ｙ3），Ｄ（ｘ4，ｙ4），Ｅ（ｘ5，ｒ）とすると，

　　ｘ1ｃｏｓα−ｒｓｉｎα＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓα＋ｙ2ｓｉｎα＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓβ＋ｙ2ｓｉｎβ＝ｒ

　　ｘ3ｃｏｓβ＋ｙ3ｓｉｎβ＝ｒ

　　ｘ3ｃｏｓγ＋ｙ3ｓｉｎγ＝ｒ

　　ｘ4ｃｏｓγ＋ｙ4ｓｉｎγ＝ｒ

　　ｘ4ｃｏｓδ＋ｙ4ｓｉｎδ＝ｒ

　　ｘ5ｃｏｓδ＋ｒｓｉｎδ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃ，点Ｄとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｒ−ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ3^2＋（ｙ3＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ4^2＋（ｙ4＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ5^2＋（ｒ＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　α，β，γ，δを消去するにはどうしたらよいか？

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【３】まとめ

　したがって，新たに計算する意味があるのは星形５／２，７／２，９／２角形に限られる．

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