P(x)を２次の多項式とするとき，
f(x)=1/(P(x))^(1/2)
F(z)=integral(0-z)f(x)dx
は対数あるいは円関数（三角関数）になりますが，３次，４次の多項式の場合はそうはいかず，初等関数をいくら組み合わせても得られない関数が登場します．P(x)を３次，４次の多項式とするとき，F(z)は楕円積分，その逆関数F-1(z)は楕円関数と命名されています．３次でも４次でもx=1/tとおけば
dx/{x(x-a)(x-b)(x-c)}^(1/2)=-dt/{(1-at)(1-bt)(1-ct)}^(1/2)
となりますから，本質的には同じことです．また，P(x)を５次以上の多項式とするとき，当該の関数は超楕円積分，超楕円関数と呼ばれます．
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【１】レムニスケート積分
f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)
u=F(z)=∫(0-z)f(x)dx
は，レムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．
２定点（－ａ，０），（ａ，０）からの距離の和が一定となる点の軌跡は楕円，差が一定の点の軌跡は双曲線です．また，商が一定の点は円（アポロニウスの円）を描きます．それでは積が一定の点はどのよう軌跡を描くでしょうか．
（答）はカッシーニ曲線．
｛（ｘ＋ａ）^2＋ｙ^2｝｛（ｘ－ａ）^2＋ｙ^2｝＝ｃ^2
（ｘ^2＋ｙ^2）^2－２ａ^2（ｘ^2－ｙ^2）＝ｃ^2－ａ^4
ｒ^4－２ａ^2ｒ^2ｃｏｓ２θ＋ａ^4＝ｃ^2
２次の多項式ｆ（ｘ，ｙ）＝０，すなわち楕円，放物線，双曲線が円錐を平面で切断したときの切り口として現れたように，カッシーニ曲線はトーラス（ドーナツ）の平面による切断面として現れることが知られています．
定数ｃが２定点間の距離の半分ａの２乗に等しいとき，レムニスケート（双葉曲線）と呼ばれます．レムニスケートは８の字形（８を９０°回転させ横向きにした∞形）をしていて，その直交座標系での方程式は４次曲線（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝２ａ^2（ｘ^2－ｙ^2），極座標系ではｒ^2＝２ａ^2ｃｏｓ２θとなります．したがって，極座標による式のほうが，直交座標による式よりかるかに簡単です．極座標はベルヌーイの時代より前にもときどき使われていたのですが，極座標を広範囲に使用し，多くの曲線に適用してさまざまな性質を最初に見つけたのは，ヤコブ・ベルヌーイでした．
レムニスケートの弧長ｌは
l=∫(0-r){1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)dr
=∫(0-r)2a^2/{4a^4-r^4}^(1/2)
とくに，a=１／√２とおくと，
l=∫(0-r)1/{1ｰr^4}^(1/2)
となります．
このようにして，ベルヌーイはレムニスケートの弧長を
f(x)=1/(1-x^4)^(1/2)
u=F(z)=∫(0-z)f(x)dx
と表しました．これがレムニスケート積分と呼ばれる典型的な楕円積分です．ただし，レムニスケート積分が第１種楕円積分なのに対し，楕円弧長を求める積分は第２種楕円積分であり，パラレルな関係にはありません．
また，
∫(0-1)f(x)dx=1.311028･･･=ω/2
とおくことにしましょう．4ωがレムニスケートの全長です．すなわち，レムニスケートサインは周期4ωをもつことがわかります．円に類比すると，レムニスケートの定数ωは円に対するπと同じ役割を演じていることになります．さらにまた，レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．
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【２】レムニスケートサイン
F(z)の逆関数であるレムニスケートサインsl(u)を求めてみることにしましょう．実際に1/(1-x^4)^(1/2)を２項展開し，さらに項別積分すると
F(z)=z+1/10z5+1/24z9+5/208z16+･･･
この逆関数のべき級数展開は
sl(u)=u-1/10u5+1/120u9+11/15600u13+･･･
=u(1-1/10u4+1/120u8+･･･)
=ug(u4)
となります．
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【３】レムニスケート積分からワイエルシュトラスの標準形へ
∫(0,x)1/(1-x^4)^(1/2)dx
は変数変換
ｘ＝１／√ｚ，ｄｘ＝－ｚ^(-3/2)／２ｄｚ
により
∫(z,∞)1/(4z^3-4z)^(1/2)dz
となる．これは慣用の記号でｇ2＝４，ｇ3＝０のワイエルシュトラスの標準形である．
∫1/(1-x^6)^(1/2)dx
も，変数変換
ｘ＝１／√ｚ，ｄｘ＝－ｚ^(-3/2)／２ｄｚ
により
∫(z,∞)1/(4z^3-4)^(1/2)dz
となる．これは慣用の記号でｇ2＝０，ｇ3＝４のワイエルシュトラスの標準形である．
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∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx
は，第１種楕円積分の標準形（ヤコビの形）
F(k,φ)=∫(0,φ)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)
を使うと
∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ）
φ＝ａｒｃｃｏｓ（（√３－１＋ｘ）／（√３＋１－ｘ））
ｋ＝（√３＋１）／２√２
∫(0,z)1/(x^3-1)^(1/2)dx
は，
∫(0,z)1/(x^3-1)^(1/2)dx＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ）
φ＝ａｒｃｃｏｓ（（ｘ－√３－１）／（ｘ＋√３－１））
ｋ＝（√３－１）／２√２
と表される． 一松，数学公式Ⅰ，ｐ１４８，岩波
∫1/(1-x^3)^(1/2)dx
は，変数変換
ｘ＝１／ｚ，ｄｘ＝－ｚ^(-2)ｄｚ
により
∫(x,∞)1/(z^4-z)^(1/2)dz
となるが，
∫1/(1-x^5)^(1/2)dx
はｘ＝１／√ｚと変数変換してもｘ＝１／ｚと変数変換しても，楕円積分は得られない，
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