（その６６）にてサイクロイド弧長が２等分，４等分されることをみた．今回のコラムでは，

　　大円の半径：ｎ，小円の半径：１　　　（０＜ｔ＜２π／ｎ）

とする内サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓｔ＋ｃｏｓ（ｎ−１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ−１）ｔ

と外サイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓｔ−ｃｏｓ（ｎ＋１）ｔ

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎｔ−ｓｉｎ（ｎ＋１）ｔ

について調べてみたい．

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【１】内サイクロイド弧長のｍ等分

　　∫(0,2π/n)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ

　＝√２（ｎ−１）∫(0,2π/n)（１−ｃｏｓｎｔ）^1/2ｄｔ

　＝２（ｎ−１）∫(0,2π/n)ｓｉｎ（ｎｔ／２）ｄｔ

　＝４（ｎ−１）／ｎ［−ｃｏｓ（ｎｔ／２）］＝８（ｎ−１）／ｎ

　　４（ｎ−１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ−１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　ｔが４直角の整数分の１になるのは，ｍ＝２とｍ＝４のときのみです．

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【２】外サイクロイド弧長のｍ等分

　　∫(0,2π/n)（ｘ’^2＋ｙ’^2）^1/2ｄｔ

　＝√２（ｎ＋１）∫(0,2π/n)（１−ｃｏｓｎｔ）^1/2ｄｔ

　＝２（ｎ＋１）∫(0,2π/n)ｓｉｎ（ｎｔ／２）ｄｔ

　＝４（ｎ＋１）／ｎ［−ｃｏｓ（ｎｔ／２）］＝８（ｎ＋１）／ｎ

　　４（ｎ＋１）／ｎ（−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１）＝８（ｎ＋１）／ｍｎ

　　−ｃｏｓ（ｎｔ／２）＋１＝２／ｍ

　　ｃｏｓ（ｎｔ／２）＝１−２／ｍ

　ｔが４直角の整数分の１になるのは，ｍ＝２とｍ＝４のときのみです．

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