【１】∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

　ここで，レムニスケートの４半弧を定規とコンパスで２等分できることを示すために

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）

において，ｐ（ｕ）＝ｐ，ｐ（２ｕ）＝１とおくことにします．すると，

　　（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）＝（４ｐ^3−４ｐ）

より，ｐ=1+√2=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝(-1+√2)^1/2=0.643594

　(-1+√2)^1/2は四則演算および平方根により得られますので，円同様，レムニスケートの４半弧も定規とコンパスだけで弧長を１／２倍にする作図が可能であることを示しています．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】∫1/(1-x^6)^(1/2)dx

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝((-1+√3)/2)^1/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝