双心ｎ角形の基底についてはｎ＝８まで解決した．昨年取り組んでいた頃には

［１］ｎが偶数のとき，凧型を用いていて等脚台形ではなかった．

［２］接線の方程式にはヘッセの標準形を用いていなかった．

どちらが奏功して一歩進化（深化）することができたのだろうか？

　以下では，等脚台形でなく凧型を用いた定式化に変更してみる．

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【１】ｎ＝４の場合

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（０，−（Ｒ＋ｄ）），Ｂ（ｘ1，ｙ1），Ｃ（０，Ｒ−ｄ）とすると，

　　−（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ1ｃｏｓθ＋ｙ1ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ1ｃｏｓφ＋ｙ1ｓｉｎφ＝ｒ

　　（Ｒ−ｄ）ｓｉｎφ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｙ1＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφを消去するにはどうしたらよいか？

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【２】フースの定理の別証

　φ−θ＝π／２より，

　　−（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ1ｃｏｓθ＋ｙ1ｓｉｎθ＝ｒ

　　−ｘ1ｓｉｎθ＋ｙ1ｃｏｓθ＝ｒ

　　（Ｒ−ｄ）ｃｏｓθ＝ｒ

　ｓｉｎθ＝−ｒ／（Ｒ＋ｄ），ｃｏｓθ＝ｒ／（Ｒ−ｄ）を代入して整理すると，

　　（Ｒ＋ｄ）ｘ1−（Ｒ−ｄ）ｙ1＝Ｒ^2−ｄ^2

　　（Ｒ−ｄ）ｘ1＋（Ｒ＋ｄ）ｙ1＝Ｒ^2−ｄ^2

　　Ｒｘ1＋ｄｙ1＝Ｒ^2

　　ｄｘ1−Ｒｙ1＝ｄ^2

ｘ1，ｙ1を求めて，ｘ1^2＋（ｙ1＋ｄ）^2＝Ｒ^2に代入して整理すると

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2

が得られる．

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【３】ｎ＝６の場合

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（０，−（Ｒ＋ｄ）），Ｂ（ｘ1，ｙ1），Ｃ（ｘ2，ｙ2)，Ｄ（０，Ｒ−ｄ）とすると，

　　−（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ1ｃｏｓθ＋ｙ1ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ1ｃｏｓφ＋ｙ1ｓｉｎφ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓψ＋ｙ2ｓｉｎψ＝ｒ

　　（Ｒ−ｄ）ｓｉｎψ＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃ，点Ｄとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｙ1＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφとψを消去するにはどうしたらよいか？

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【４】ｎ＝８の場合

　内接円の中心を原点にとる．外接円との交点をＡ（０，−（Ｒ＋ｄ）），Ｂ（ｘ1，ｙ1），Ｃ（ｘ2，ｙ2)，Ｄ（ｘ3，ｙ3），Ｅ（０，Ｒ−ｄ）とすると，

　　−（Ｒ＋ｄ）ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ1ｃｏｓθ＋ｙ1ｓｉｎθ＝ｒ

　　ｘ1ｃｏｓφ＋ｙ1ｓｉｎφ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓφ＋ｙ2ｓｉｎφ＝ｒ

　　ｘ2ｃｏｓψ＋ｙ2ｓｉｎψ＝ｒ

　　ｘ3ｃｏｓψ＋ｙ3ｓｉｎψ＝ｒ

　　ｘ3ｃｏｓω＋ｙ3ｓｉｎω＝ｒ

　　（Ｒ−ｄ）ｓｉｎω＝ｒ

　また，外接円の中心Ｏ（０，−ｄ）と点Ａ，点Ｂ，点Ｃ，点Ｄ，点ＸＥとの距離の２乗はＲ^2となることより

　　ｘ1^2＋（ｙ1＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ2^2＋（ｙ2＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　　ｘ3^2＋（ｙ3＋ｄ）^2＝Ｒ^2

　θとφとψとωを消去するにはどうしたらよいか？

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