Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ
は正しい公式であるだが，ｎ＞ｍであることが必要となる．したがって，６乗和公式，８乗和公式は正三角形に対しては成り立たない．８乗和公式は正方形に対しては成り立たない．
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【１】正三角形の場合
ｎ個の頂点を（Ｐ1，・・・，Ｐn）とする．三角形の場合，Ｐ1Ｐ2＝Ｐ1Ｐ3＝√３，Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^2＝２ｎ＝６
頂点Ｐ1の対蹠点をＰ0とし，ここから３頂点Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3までの距離の２乗和，４乗和，６乗和，８乗和，・・を考えてみよう．
｜Ｐ0Ｐ1｜^2＝４
｜Ｐ0Ｐ2｜^2＝｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ2｜^2＝１
｜Ｐ0Ｐ3｜^2＝｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ3｜^2＝１
Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^2＝６＝２ｎ＝６
｜Ｐ0Ｐ1｜^4＝１６
｜Ｐ0Ｐ2｜^4＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ2｜^2）^2＝１
｜Ｐ0Ｐ3｜^4＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ3｜^2）^2＝１
Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^4＝１８＝６ｎ＝１８
｜Ｐ0Ｐ1｜^6＝６４
｜Ｐ0Ｐ2｜^6＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ2｜^2）^3＝１
｜Ｐ0Ｐ3｜^6＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ3｜^2）^3＝１
Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^6＝６６＞２０ｎ＝６０＞Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^6＝５４
｜Ｐ0Ｐ1｜^8＝２５６
｜Ｐ0Ｐ2｜^8＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ2｜^2）^4＝１
｜Ｐ0Ｐ3｜^8＝（｜Ｐ0Ｐ1｜^2−｜Ｐ0Ｐ3｜^2）^4＝１
Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^8＝２５８＞７０ｎ＝２１０＞Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^8＝１６２
ここで，面白い事実に気づく．
（Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^2m＋Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^2m）／２＝（２ｍ，ｍ）ｎ
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【２】正方形の場合
ｎ個の頂点を（Ｐ1，・・・，Ｐn）とする．正方形の場合，Ｐ1Ｐ2＝Ｐ1Ｐ4＝√２，Ｐ1Ｐ3＝２，Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^2＝２ｎ＝６
頂点Ｐ1とＰ2の円周上の中間点をＰ0（１／√２，１／√２）とし，ここから４頂点Ｐ1，Ｐ2，Ｐ3，Ｐ4までの距離の２乗和，４乗和，６乗和，８乗和，・・を考えてみる．
以下，正五角形，正六角形の場合も同様である．
Ｓ0＝（２ｍ，ｍ）ｎ
Ｓ1＝Σ(1,n))｜Ｐ1Ｐｊ｜^2m
Ｓ2＝Σ(0,n))｜Ｐ0Ｐｊ｜^2m
（Ｓ1＋Ｓ2）／２＝Ｓ0は常に成り立つのだろうか？
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【３】正二角形
Ｓ1 Ｓ2 Ｓ0
［１］二乗和 ４ ４ ４
［２］四乗和 １６ ８ １２ ○
［３］六乗和 ６４ １６ ４０ ○
［４］八乗和 ２５６ ３２ １４０ ×
［５］十乗和 １０２４ ６４ ５０４ ×
［６］十二乗和 ４０９６ １２８ １８４８ ×
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【４】正三角形
Ｓ1 Ｓ2 Ｓ0
［１］二乗和 ６ ６ ６
［２］四乗和 １８ １８ １８
［３］六乗和 ５４ ６６ ６０ ○
［４］八乗和 １６２ ２５８ ２１０ ○
［５］十乗和 ４８６ １０２６ ７５６ ○
［６］十二乗和 １４５８ ４０９８ ２７７２ ×
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【５】正方形
Ｓ1 Ｓ2 Ｓ0
［１］二乗和 ８ ８ ８
［２］四乗和 ２４ ２４ ２４
［３］六乗和 ８０ ８０ ８０
［４］八乗和 ２８８ ２７２ ２８０ ○
［５］十乗和 １０８８ ９２８ １００８ ○
［６］十二乗和 ４２２４ ３１６８ ３６９６ ○
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【６】正五角形
Ｓ1 Ｓ2 Ｓ0
［１］二乗和 １０ １０ １０
［２］四乗和 ３０ ３０ ３０
［３］六乗和 １００ １００ １００
［４］八乗和 ３５０ ３５０ ３５０
［５］十乗和 １２５０ １２７０ １２６０ ○
［６］十二乗和 ４５００ ４７４０ ４６２０ ○
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【７】正六角形
Ｓ1 Ｓ2 Ｓ0
［１］二乗和 １２ １２ １２
［２］四乗和 ３６ ３６ ３６
［３］六乗和 １２０ １２０ １２０
［４］八乗和 ４２０ ４２０ ４２０
［５］十乗和 １５１２ １５１２ １５１２
［６］十二乗和 ５５５６ ５５３２ ５５４４ ○
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【８】まとめ
（Ｓ1＋Ｓ2）／２＝Ｓ0が常に成り立つかといえばそうではなく，いわくいいがたしという結果になってしまった．４ｎ乗和を越えると成り立たなくなるのかもしれない．
また，この結果からいえることは，単位円に内接する正ｎ角形（Ｐ1，・・・，Ｐn）があるとき，単位円上の動点Ｑに対しても，
Σ(1,n)｜ＱＰj｜^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ （ｎ＞ｍ）
となるということだろう．
さらにそれを拡張すると，
［１］三角形ＱＰjＰj+1の面積をＳjとすると
Σ(1,m)Ｓj^2＝一定
である．
［２］Ｐ（ｘ，ｙ）を次数ｎ未満の多項式とするとき，単位円上の平均と内接正ｎ角形の頂点での平均は等しい．
［３］Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）を次数ｎ未満の多項式とするとき，単位球上の平均と内接正多面体（頂点数ｎ）の頂点での平均は等しい．
「良い配置」とは任意の次元の半径１の球面上の有限個の点集合Ｋで，ｆ（ｘ）が２次式以下の多項式のとき，積分がＫの点上の値の平均値に等しい
∫(S)ｆ（ｘ）ｄσ＝Σｆ（Ｐ）／＃（Ｋ）
ｄσは∫(S)ｄσ＝１と標準化した面積分
が成立する集合です．
ｆ（ｘ）として，特定の頂点からの距離の２乗−定数（全体の積分が０になるように定数を選ぶ）とした場合，それを各頂点について加えた形が
ＳＳ＝ｖ^2
に相当します．
正多面体の頂点の集合が「よい配置」であることはかなり以前より知られていますが，正多面体でない準正多面体でも３次元の立方八面体や１２面・２０面体など，この性質をもつ多面体は多数あります．
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