［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の平方和は２ｎに等しい
は任意の次元で成り立つ定理であるが，
［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の４乗和は６ｎに等しい
［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の６乗和は２０ｎに等しい
［定理］単位円に内接する正ｎ角形のひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の８乗和は７０ｎに等しい
は２次元のみで成り立つ定理である．
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［１］相加平均・相乗平均・調和平均不等式より，
Σｄ／（ｎ−１）≧（Πｄ）^1/(n-1)≧（ｎ−１）／Σ１／ｄ
Σｄ^2／（ｎ−１）≧（Πｄ^2）^1/(n-1)＝（Πｄ）^2/(n-1)≧（ｎ−１）／Σ１／ｄ^2
Σｄ^3／（ｎ−１）≧（Πｄ^3）^1/(n-1)＝（Πｄ）^3/(n-1)≧（ｎ−１）／Σ１／ｄ^3
Σｄ^4／（ｎ−１）≧（Πｄ^4）^1/(n-1)＝（Πｄ）^4/(n-1)≧（ｎ−１）／Σ１／ｄ^4
［２］コーシー・シュワルツの不等式（ｕ・ｖ≦｜ｕ｜｜ｖ｜）を適用すれば，
（Σｄ）≦（ｎ−１）Σｄ^2＝２ｎ（ｎ−１）＜２ｎ^2
（Σｄ^2）^2＝４ｎ^2≦（ｎ−１）Σｄ^4＝６ｎ（ｎ−１）＜６ｎ^2
（Σｄ^3）^2≦（ｎ−１）Σｄ^6＝２０ｎ（ｎ−１）＜２０ｎ^2
（Σｄ^4）^2＝３６ｎ^2≦（ｎ−１）Σｄ^8＝７０ｎ（ｎ−１）＜７０ｎ^2
（Σｄ^m）^2＝３６ｎ^2≦（ｎ−１）Σｄ^2m＝（２ｍ，ｍ）ｎ（ｎ−１）＜（２ｍ，ｍ）ｎ^2
が成り立つ．
［３］チェビシェフの不等式においてｂ＝１／ａとおくと
（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2
となるから，
（Σｄ）^2・（Σ１／ｄ）^2≧（ｎ−１）^4
（Σｄ^2）^2・（Σ１／ｄ^2）^2≧（ｎ−１）^4
（Σｄ^3）^2・（Σ１／ｄ^3）^2≧（ｎ−１）^4
（Σｄ^4）^2・（Σ１／ｄ^4）^2≧（ｎ−１）^4
［４］３次元以上の空間では，Σｄ^2を基準としてまとめることになるが，場合によってはｄ次元多面体が一挙に２次元平面に退化し多角形になることもあるだろう．その場合，Σｄ^2を基準とする代わりに，
Σｄ^4，Σｄ^6，Σｄ^8，・・・
を基準としてまとめることができる．
（Σｄ）^2≦（ｎ−１）Σｄ^2＝２ｎ（ｎ−１）
（Σｄ^3）^2≦（ｎ−１）Σｄ^6＝２０ｎ（ｎ−１）
（Σｄ^5）^2≦（ｎ−１）Σｄ^10＝２５２ｎ（ｎ−１）
次に，
（Σｄ）・（Σ１／ｄ）≧（ｎ−１）^2
を用いれば，
（Σｄ^3）^2・（Σ１／ｄ^3）^2≧（ｎ−１）^4
（Σｄ^5）^2・（Σ１／ｄ^5）^2≧（ｎ−１）^4
も得られる．
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以下では，正多面体が半径１の球に内接しているとき，すべての辺と対角線の長さのｄ乗積（ｄ＝３，５）を求めることにする．結論を先にいうと，つねに整数とは限らないが，下記の不等式をみたす．
【１】（Σｄ^3）^2≦（ｎ−１）Σｄ^6＝２０ｎ（ｎ−１）
［１］正四面体 ：Ｑ＝１３．０６３９＜１５．４９１９
［２］立方体 ：Ｑ＝２５．６８２４＜３３．４６６４
［３］正八面体 ：Ｑ＝１９．３１３７＜２４．４９４９
［４］正十二面体 ：Ｑ＝６４．０２１４＜８７．１７８
［５］正二十面体 ：Ｑ＝３８．４３３８＜５１．３８０９
［６］正５胞体 ：Ｑ＝１５．８１１４＜２０
［７］正８胞体 ：Ｑ＝４９．７５５２＜６９．２８２
［８］正１６胞体 ：Ｑ＝２４．９７０６＜３３．４６６４
［９］正２４胞体 ：Ｑ＝７４．５３９８＜１０５．０７１
［１０］正６００胞体：Ｑ＝３７２．５２＜５３４．４１６
［１１］正１２０胞体：Ｑ＝１８６２．５７＜２６８１．０４
【２】（Σｄ^5）^2≦（ｎ−１）Σｄ^10＝２５２ｎ（ｎ−１）
［１］正四面体 ：Ｑ＝３４．８３７２＜５４．９９０９
［２］立方体 ：Ｑ＝７２．９９５６＜１１８．７９４
［３］正八面体 ：Ｑ＝５４．６４７２＜８６．９４８３
［４］正十二面体 ：Ｑ＝１８２．８４４＜３０９．４５１
［５］正二十面体 ：Ｑ＝１０９．６９１＜１８２．３８４
［６］正５胞体 ：Ｑ＝３９．５２８５＜７０．９９３
［７］正８胞体 ：Ｑ＝１３２．２９５＜２４５．９２７
［８］正１６胞体 ：Ｑ＝６５．９４１１＜１１８．７９４
［９］正２４胞体 ：Ｑ＝１９８．６４９＜３７２．９６６
［１０］正６００胞体：Ｑ＝９９３．３６８＜１８９６．９９
［１１］正１２０胞体：Ｑ＝４９６６．８５＜９５１６．７６
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