複素数平面で考えると

　　Πｓｉｎ（ｘ＋ｋπ／ｎ）＝ｓｉｎｎθ／２^(n-1)ｓｉｎθ

も

　　ζ＝ｅｘｐ（π／ｎ）

　　Π（ｚζ^k−ｚ^-1ζ^-ｰk）＝ｉ^(n-1)（ｚ^n−ｚ^-n）

という因数分解公式において，ｚ＝ｅｘｐ（ｉｘ）とおけば得られます．

　　Σ(1,n)｜Ｐ1Ｐj｜^4＝６ｎ

を複素数平面で表現すれば以下のような証明になります．

　　ζ＝ｅｘｐ（２π／ｎ）はｚ^n−１＝０の解だとして

　　Ｓ＝Σ(1,n)｜１−ζ^k｜^4＝６ｎ

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　　Ｓ＝Σ(1,n)｜ｚi−１｜^4＝Σ(1,n)｛（ｚi−１）（ｚi~−１）^2

　　　＝Σ(1,n)（２−（ｚi＋ｚi~）｝^2

　　　＝Σ(1,n)（６＋ｚi^2＋ｚi~^2−４ｚi−４ｚi~）

　ここで，解と係数の関係から

　　Σ(1,n)ｚi＝０，Σ(1,n)ｚi^2＝０，Ｓ＝６ｎ

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