調和級数（自然数の逆数の和）が発散することはよく知られている．それどころか，素数の逆数の和だけでさえ発散する．

（証）ｐ（≦ｎ）なる素数を考える．

　　Π（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）＝Π１／（１−１／ｐ）

を展開すると自然数の逆数は必ずでてくるから

　　Π（１＋１／ｐ＋１／ｐ^2＋・・・）＞１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｎ→∞

　　Π１／（１−１／ｐ）→∞

左辺の対数をとると

　　ｇ（ｎ）＝Σｌｏｇ（１＋１／（ｐ−１））→∞

　ここで，ｌｏｇｘ＜ｘを用いて

　　ｌｏｇ（１＋１／（ｐ−１））＜１／（ｐ−１）＝１／ｐ＋１／ｐ（ｐ−１）＜１／ｐ＋１／（ｐ−１）^2

　　ｇ（ｎ）＜Σ｛１／ｐ＋１／（ｐ−１）^2｝＝Σ｛１／ｐ）＋π^2／６

これよりΣ｛１／ｐ）→∞

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【１】diet調和級数の収束

　調和級数は発散しますが，分母に９が含まれている項をすべて取り除けば発散しなくなります．

　　Ｊ＝（１／１＋・・・＋１／８）＋（１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８）＋（１／１００＋・・・＋１／８８８）＋・・・

において，括弧内のすべての項を括弧内の最大項に置き換えると

　　１／１＋・・・＋１／８＜１／１＋・・・１／１＜９／１

　　１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８＜１／１０＋・・・１／１０＜９^2／１０

　　１／１００＋・・・＋１／８８８＜１／１００＋・・・１／１００＜９^3／１０^2

　　Ｊ＜９／１＋９^2／１０＋９^3／１０^2＋・・・＝９／（１−９／１０）＝９０

したがって，９をすべて取り除いた調和級数は収束します．同様に，取り除く数がどれであっても収束するのですが，１０％の数を取り除くと収束する・・・なにか奇異に感じられませんか？

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【２】すべての数の中に９が含まれる数はいくつあるか？

　種明かしをしよう．１から１０^nまで，数字ｘが含まれる数字の個数は（１０^n−９^n），したがって，ｘが含まれる数字の比率は（１０^n−９^n）／１０^n＝１−（９／１０）^nで表される．

　したがって，１から１０までで１０％，１００までで１９％，１０００までで２７％，１００００までで３４％であるが，桁数が大きくなるほどｘが含まれる確率は高くなり，この後，急速に１００％に近づく．１０％でなく事実上ほとんどすべての数にｘが含まれているといえるのである．

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【３】無零調和級数の収束

［Ｑ］分母に０が含まれている項をすべて取り除けば無零調和級数は収束する．

［Ａ］１０^α-1と１０^αの間にある無零数の個数は９^α個だから，その間にある無零数の逆数の和は９^α／１０^α-1より小さい．したがって，

　　Σ１／ａ＜Σ９^α／１０^α-1＝９／（１−９／１０）＝９０

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【４】グリーン・タオの定理

　有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　ここで，素数のみからなる等差数列，

　　ａ，ａ＋ｄ，・・・，ａ＋（ｎ−１）ｄ

において，「任意に長いｎ個の素数の等差数列が存在する．」（グリーン・タオの定理：２００４年）

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【５】エルデシュ予想

　「自然数列｛ａi｝がΣ１／ａi＝∞を満たすならば，自然数列｛ａi｝は任意の長さの等差数列を含む．」

　Σ｛１／ｐ）→∞なので，エルデシュ予想を証明すれば各項が素数である任意の長さの等差数列が存在することがわかる．この事実は２００４年にグリーンとタオによって証明されたというわけである．

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