［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの４乗和を求めよ．

［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→４乗和＝２（√３）^4＝１８．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→４乗和＝２（√２）^4＋２^4＝２４．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→４乗和＝２・１^4＋２（√３）^4＋２^4＝３６．

　一般に対角線や辺の長さは無理数になる．したがって，長さの奇数乗和も無理数になる．しかし，ここで求めようとしているのは長さの４乗和であって，これまでのところ，答えはつねに整数で６ｎであることが示唆される．

　特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，４乗和＝２^4＝１６となって，６ｎ＝１２ではない．

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［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの６乗和を求めよ．

［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→６乗和＝２（√３）^6＝５４．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→６乗和＝２（√２）^6＋２^6＝８０．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→６乗和＝２・１^6＋２（√３）^6＋２^6＝１２０．

　ｎのパリティー（奇数か偶数か）によって違いを生ずるが，長さの６乗和は，これまでのところ，答えはつねに整数で≦２０ｎであることが示唆される．

　特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，６乗和＝２^6＝６４＞２０ｎ＝４０．

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　以下では，正多面体が半径１の球に内接しているとき，すべての辺と対角線の長さのｄ乗積（ｄ＝３〜６）を求めることにする．結論を先にいうと，つねに整数とは限らないが，４乗和＜６ｎ，６乗和＜２０ｎの不等式をみたす．

【１】ｄ＝３

［１］正四面体　　　：Ｑ＝１３．０６３９

［２］立方体　　　　：Ｑ＝２５．６８２４

［３］正八面体　　　：Ｑ＝１９．３１３７

［４］正十二面体　　：Ｑ＝６４．０２１４

［５］正二十面体　　：Ｑ＝３８．４３３８

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝１５．８１１４

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝４９．７５５２

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝２４．９７０６

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝７４．５３９８

［１０］正６００胞体：Ｑ＝３７２．５２

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝１８６２．５７

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【２】ｄ＝４

［１］正四面体　　　：Ｑ＝２１．３３３３＜６ｖ＝２４

［２］立方体　　　　：Ｑ＝４２．６６６７＜６ｖ＝４８

［３］正八面体　　　：Ｑ＝３２＜６ｖ＝３６

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１０６．６６７＜６ｖ＝１２０

［５］正二十面体　　：Ｑ＝６４＜６ｖ＝７２

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝２５＜６ｖ＝３０

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝８０＜６ｖ＝９６

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝４０＜６ｖ＝４８

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝１２０＜６ｖ＝１４４

［１０］正６００胞体：Ｑ＝６００＜６ｖ＝７２０

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝３０００＜６ｖ＝３６００

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【３】ｄ＝５

［１］正四面体　　　：Ｑ＝３４．８３７２

［２］立方体　　　　：Ｑ＝７２．９９５６

［３］正八面体　　　：Ｑ＝５４．６４７２

［４］正十二面体　　：Ｑ＝１８２．８４４

［５］正二十面体　　：Ｑ＝１０９．６９１

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝３９．５２８５

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝１３２．２９５

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝６５．９４１１

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝１９８．６４９

［１０］正６００胞体：Ｑ＝９９３．３６８

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝４９６６．８５

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【４】ｄ＝６

［１］正四面体　　　：Ｑ＝５６．８８８９＜２０ｖ＝８０

［２］立方体　　　　：Ｑ＝１２８＜２０ｖ＝１６０

［３］正八面体　　　：Ｑ＝９６＜２０ｖ＝１２０

［４］正十二面体　　：Ｑ＝３２０＜２０ｖ＝４００

［５］正二十面体　　：Ｑ＝１９２＜２０ｖ＝２４０

［６］正５胞体　　　：Ｑ＝６２．５＜２０ｖ＝１００

［７］正８胞体　　　：Ｑ＝２２４＜２０ｖ＝３２０

［８］正１６胞体　　：Ｑ＝１１２＜２０ｖ＝１６０

［９］正２４胞体　　：Ｑ＝３３６＜２０ｖ＝４８０

［１０］正６００胞体：Ｑ＝１６８０＜２０ｖ＝２４００

［１１］正１２０胞体：Ｑ＝８４００＜２０ｖ＝１２０００

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【５】雑感

　「正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．」は２次元でしか成り立たなかった．証明は後回しにするが，ひとつの頂点を起点とする辺と対角線の長さの２ｍ乗和も２次元でしか成り立たないものと思われる．

　それに対して，公式：Σｄi＝ｎ^2の面白いところは，２次元図形だけでなくすべての次元で通用することである．すなわち，すべての次元において，単位球に内接する正多胞体のすべての辺と対角線の長さの平方和はｎ^2で与えられることになる．無理数でなく整数！　この美とエレガンス！

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