【１】ｃｏｓ（π／７）
ｃｏｓ（π／７）が３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０の解として得られる．
ｘ＝１／６｛１＋√７ｃｏｓ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）＋√２１ｓｉｎ（１／３ａｒｃｔａｎ３√３）｝＝０．９００９６９
７倍角の公式
ｃｏｓ７θ＝６４ｃｏｓ^7θ−１１２ｃｏｓ^5＋５６ｃｏｓ^3−７ｃｏｓθ
において，θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
６４ｘ^7−１１２ｘ^5＋５６ｘ^3−７ｘ＝−１
７次方程式の解として得られるというものであるが，３次方程式に還元するうまい手があるはずである．
たとえば，ｓｉｎ（π／１０）を求めるのに，θ＝π／１０とおくと
５θ＝π／２，３θ＝π／２−２θ
より，
ｃｏｓ３θ＝ｓｉｎ２θあるいはｓｉｎ３θ＝ｃｏｓ２θ
こうすれは５次方程式を解く必要はない．
前者は
４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＝２ｓｉｎθｃｏｓθ
４ｃｏｓ^2θ−３＝２ｓｉｎθ
４ｓｉｎ^2θ＋２ｓｉｎθ−１＝０
より２次方程式に帰着する．
後者は
−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ＝１−２ｓｉｎ^2θ
となって，３次方程式が現れる．それでも
（ｓｉｎθ−１）（４ｓｉｎ^2θ＋２ｓｉｎθ−１）＝０
と因数分解すれは同じ２次方程式に到達する．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
θ＝π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
７θ＝π，４θ＝π−３θ
より，
ｃｏｓ４θ＝−ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝ｓｉｎ３θ
前者は４次方程式
８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝−４ｃｏｓ^3θ＋３ｃｏｓθ
後者は
８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^3θ＋３ｓｉｎθ
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｓｉｎ^2θ＋３
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｃｏｓ^2θ−１
より３次方程式：８ｘ^3−４ｘ^2−４ｘ＋１＝０に帰着するというわけである．
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【２】ｃｏｓ（π／９）
ｘ＝ｃｏｓ（π／９）とおくと，３倍角の公式
４ｘ^3−３ｘ＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２
より，３次方程式：８ｘ^3 −６ｘ−１＝０に帰着します．
あるいは，θ＝π／９，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
９θ＝π，５θ＝π−４θ
より，
ｃｏｓ５θ＝−ｃｏｓ４θあるいはｓｉｎ５θ＝ｓｉｎ４θ
前者は５次方程式
１６ｃｏｓ^5θ−２０ｃｏｓ^3θ＋５ｃｏｓθ＝−８ｃｏｓ^4θ＋８ｃｏｓ^2θ−１
となるが，後者は
１６ｓｉｎ^5θ−２０ｓｉｎ^3θ＋５ｓｉｎθ＝８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ
１６ｓｉｎ^4θ−２０ｓｉｎ^2θ＋５＝８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ
よりｃｏｓθ関する３次方程式に帰着するというわけである．
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【３】ｃｏｓ（π／ｎ）
前述したように，θ＝π／ｎ，ｘ＝ｃｏｓθが解となる方程式は，一般にｎ次式になると考えることは誤りである．
［１］ｎ＝２ｍのとき
ｃｏｓｎθ＝２ｃｏｓ^2ｍθ−１＝−１
ｃｏｓｍθ＝０はｃｏｓθのｍ次式となる．
［２］ｎ＝２ｍ＋１のとき
ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓｍθｃｏｓ（ｍ＋１）θ−ｓｉｎｍθｓｉｎ（ｍ＋１）θ１＝−ｃｏｓ^2ｍθ−ｓｉｎ^2ｍθ＝−１
ではしょうがないので，
ｃｏｓθ＝ｃｏｓ（（ｍ＋１）θ−ｍθ）＝ｃｏｓｍθｃｏｓ（ｍ＋１）θ＋ｓｉｎｍθｓｉｎ（ｍ＋１）θ１＝−ｃｏｓ^2ｍθ＋ｓｉｎ^2ｍθ＝１−２ｃｏｓ^2ｍθ
とおくと，ｘの２ｍ次式
ｘ＝１−（ｘのｍ次式）^2
が得られる．たとえば，ｃｏｓ（π／７）の場合，６次式となるが，これではほとんどメリットがない．
［３］もしｃｏｓ（π／ｎ）が既知であるならば，ｃｏｓ（π／２ｎ）は２次方程式からは芋づる式に求めることができる．
２ｃｏｓ^2（π／４）−１＝ｃｏｓ（π／２）＝０
２ｃｏｓ^2（π／８）−１＝ｃｏｓ（π／４）＝１／√２
２ｃｏｓ^2（π／１６）−１＝ｃｏｓ（π／８）
２ｃｏｓ^2（π／３）−１＝ｃｏｓ（２π／３）＝−１／２
２ｃｏｓ^2（π／６）−１＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２
２ｃｏｓ^2（π／１２）−１＝ｃｏｓ（π／６）＝√３／２
２ｃｏｓ^2（π／５）−１＝ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４
２ｃｏｓ^2（π／１０）−１＝ｃｏｓ（π／５）＝（√５＋１）／４
２ｃｏｓ^2（π／２０）−１＝ｃｏｓ（π／１０）
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【４】チェビシュフ多項式
ところで，ド・モアブルの定理：
（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^n＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ
の左辺を２項展開して，両辺の実部，虚部を比較すると
ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθ）^n−nＣ2（ｃｏｓθ）^n-2（ｓｉｎθ）^2＋・・・＝（ｃｏｓθのｎ次多項式）＝Ｔn（ｃｏｓθ）
ｓｉｎｎθ＝nＣ1（ｃｏｓθ）^n-1ｓｉｎθ−nＣ3（ｃｏｓθ）^n-3（ｓｉｎθ）^3＋・・・＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθのｎ−１次多項式）＝ｓｉｎθ×Ｕn（ｃｏｓθ）
を得る．
このことから，ｃｏｓ（π／ｎ），ｎ＝２ｍ＋１のとき，
ｃｏｓ（ｍ＋１）θ＝−ｃｏｓｍθとｓｉｎ（ｍ＋１）θ＝ｓｉｎｍθ
では後者の方が方程式の次数が下がり，ｍ次方程式となることがおわかりいただけるであろう．
なお，
ｃｏｓｎθ＝ｃｏｓθｃｏｓ（ｎ−１）−ｓｉｎθｓｉｎ（ｎ−１）θ
ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθｃｏｓ（ｎ−１）＋ｃｏｓθｓｉｎ（ｎ−１）θ
より，漸化式
Ｔn（ｃｏｓθ）＝ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−（ｓｉｎθ）^2Ｕn-1（ｃｏｓθ）
Ｕn（ｃｏｓθ）＝Ｔn-1（ｃｏｓθ）＋ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）
Ｔn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＴn-1（ｃｏｓθ）−Ｔn-2（ｃｏｓθ）
Ｕn（ｃｏｓθ）＝２ｃｏｓθＵn-1（ｃｏｓθ）−Ｕn-2（ｃｏｓθ）
が成り立つ．
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【５】ｃｏｓ（２π／７）
θ＝２π／７，ｃｏｓθ＝ｘとおくと
７θ＝２π，４θ＝２π−３θ
より，
ｃｏｓ４θ＝ｃｏｓ３θあるいはｓｉｎ４θ＝−ｓｉｎ３θ
前者は４次方程式
８ｃｏｓ^4θ−８ｃｏｓ^2θ＋１＝４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ
後者は
８ｓｉｎθｃｏｓ^3θ−４ｓｉｎθｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^3θ−３ｓｉｎθ
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝４ｓｉｎ^2θ−３
８ｃｏｓ^3θ−４ｃｏｓθ＝−４ｃｏｓ^2θ＋１
より３次方程式：８ｘ^3＋４ｘ^2−４ｘ−１＝０に帰着するというわけである．
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【６】ｃｏｓ（２π／１７）
ｘ＝ｃｏｓ（２π／ｎ），ｎ＝２ｍ＋１のとき，
ｃｏｓ（ｍ＋１）θ＝ｃｏｓｍθとｓｉｎ（ｍ＋１）θ＝−ｓｉｎｍθ
において，後者の方が方程式の次数が低く，ｍ次方程式となる．
ｓｉｎ９θ＝−ｓｉｎ８θ
より，８次方程式
２５６ｘ^8−４４８ｘ^6＋２４０ｘ^4−４０ｘ^2＋１＝−（１２８ｘ^7−１９２ｘ^5＋８０ｘ^3−８ｘ）
が得られたが，Mathematicaでは数値解ｘ＝ｃｏｓ（２π／１７）＝０．９３２４７２しか求めることができず，＋−×÷√の演算の組み合わせの形の解析解にはならなかった．
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