■分数式のはなし(その6)

 オイラーの恒等式

  F={a^k(b−c)+b^k(c−a)+c^k(a−b)}/(a−b)(b−c)(c−a)

として,分子をFkとおくと

  F0=(b−c)+(c−a)+(a−b)=0

  F1=a(b−c)+b(c−a)+c(a−b)=0

  F2=a^2(c−b)+b^2(a−c)+c^2(b−a)=−(a−b)(b−c)(c−a)

  F3=a^3(b−c)+b^3(c−a)+c^3(a−b)=−(a−b)(b−c)(c−a)(a+b+c)

よって,k=0,1,2,3の場合,順に

  F=0,0,−1,−(a+b+c)

となる.

 さらに

k=3のとき,F=−(a+b+c)

k=4のとき,F=−(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)

k=5のとき,F=−(a^3+b^3+c^3+a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2+abc)

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【1】形式的ベキ級数

  Sn=a^n/(a−b)(c−a)+b^n/(b−c)(a−b)+c^n/(c−a)(b−c)

={a^n(b−c)+b^n(c−a)+c^n(a−b)}/(a−b)(b−c)(c−a)

  S(x)=ΣSnx^n

=Σa^nx^n/(a−b)(c−a)+Σb^nx^n/(b−c)(a−b)+Σc^nx^n/(c−a)(b−c)

=1/(a−b)(c−a)(1−ax)+1/(b−c)(a−b)(1−bx)+1/(c−a)(b−c)(1−cx)

より,

  Sn=Σa^ib^jc^k   (i+j+k=n−2)

 4変数の場合,結果も似たようなものになり

  Tn=Σa^ib^jc^kd^l   (i+j+k+l=n−2)

[参]小池正夫「実験・発見・数学体験」数学書房

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