正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積
ｎ＝２^kΠＦm
でなければなりません．したがって，
［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０ → 作図可能
［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５ → 作図不可能
となって，幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最大
３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５
角形まであります．
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【１】正多角形の作図
正多角形の作図は円周等分問題という幾何学問題ですが，ｘ^n −１＝０という代数方程式の解と密接な関係にあります．また，定規とコンパスで描ける図形は直線と円ですから，その作図は線分の長さの加減乗除と平方根をとる操作に相当します．すなわち，定規（直線）とコンパス（円）による作図は，たとえそれらを繰り返し用いたとしても，＋，−，×，÷，√なる５つの演算によって得られるものに限られています．
ｚ^2−１＝（ｚ−１）（ｚ＋１）
ｚ^3−１＝（ｚ−１）（ｚ^2＋ｚ＋１）
ｚ^4−１＝（ｚ^2−１）（ｚ^2＋１）
は２次方程式に帰着できますが，ｎ＝５の場合
ｚ^5−１＝（ｚ−１）（ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１）
の右辺には４次方程式があるので，一見不可能に見えますが，２次以下に因数分解できます．ｚ＋１／ｚ＝ｘとおけばよいのです．正５角形の作図は黄金比と関連していて，２次方程式：ｘ^2 −ｘ−１＝０を解く，すなわち（√５＋１）／２を求めることによって可能となりました．ギリシャ人は黄金分割を用いた見事な方法で正五角形の作図に成功したのですが，この方法は二次方程式の幾何学的解法を利用した賢明な方法といえます．
［補］ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式
ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０
の両辺をｘ^2でわり，
ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）
と変数変換すると２次方程式
ｙ^2＋ｙ−１＝０
に帰着され，
ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）
ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４
が得られる．→コラム「初等幾何の楽しみ（その２３）」参照
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ｚ^6−１＝（ｚ^2）^3−１
ｚ^8−１＝（ｚ^2）^4−１
なので，それぞれ正三角形，正方形に対する角度を求め，それを二等分することによって幾何学的に解けます．
ｚ^9−１＝（ｚ^3）^3−１
は正三角形に対する角度を求め，それを三等分する必要がありますが，これは不可能です．
ｚ^7−１＝（ｚ−１）（ｚ^6＋ｚ^5ｚ^4＋ｚ^3＋ｚ^2＋ｚ＋１）
も幾何学的に解くのは無理です．正７角形，正９角形はそれぞれ３次方程式：ｘ^3 ＋ｘ^2 −２ｘ−１＝０，ｘ^3 −３ｘ＋１＝０に帰着します．したがって，正７角形，正９角形の作図のように３次方程式に帰着する作図問題は＋−×÷√の演算を組み合わせても解けません．
ｎ＝１０〜１４は省略．ｎ＝１５は２つの異なるフェルマー数の積です．実際，正三角形（１２０°）と正五角形（７２°）の差４８°の半分として正十五角形（２４°）を幾何学的に作ることができます．ｎ＝５１，８５，３５５も異なるフェルマー数の積で作図可能です．
ｎ＝１７の場合は，ｎ＝５の場合にもう１ステップ要しますが，全く同様に得ることができます．
［補］１６次方程式
ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０
の両辺をｘ^8でわり，
ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／１７）
と変数変換をし，最後に２次方程式に帰着させると失敗する．
ｚ＝ｘ^4＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^4
ｗ＝ｘ^8＋ｘ^4＋ｘ^2＋ｘ＋１／ｘ＋１／ｘ^2＋１／ｘ^4＋１／ｘ^8
と変数変換する手がある．
ζ＝ｃｏｓ（２π／１７）＋ｉｓｉｎ（２π／１７）
ｙ＝ζ＋ζ^-1＝２ｃｏｓ（２π／１７）
ｙ’＝ζ^4＋ζ^-4
ｚ＝ζ＋ζ^4＋ζ^-1＋ζ^-4
ｚ’＝ζ^2＋ζ^8＋ζ^-2＋ζ^-8
ｗ＝ζ＋ζ^2＋ζ^4＋ζ^8＋ζ^-1＋ζ^-2＋ζ^-4＋ζ^-8
ｗ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^6＋ζ^7＋ζ^-3＋ζ^-5＋ζ^-6＋ζ^-7
とおく．
ｘ^16＋ｘ^15＋・・・・＋ｘ＋１＝０
より，ｗ＋ｗ’＝−１，ｗｗ’＝−４となるから，ｗはｘ^2＋ｘ−４＝０の根． ｗ＝（√１７−１）／２＝１．５６１５５
同様に，
ｚ＋ｚ’＝ｗ，ｚｚ’＝−１となるから，ｚはｘ^2−ｗｘ−１＝０の根． ｚ＝（ｗ＋√（ｗ^2＋４））／２＝（−１＋√１７＋√（３４−２√１７））／４＝２．０４９４８
ｙ＋ｙ’＝ｚ，ｙｙ’＝ζ^3＋ζ^5＋ζ^-3＋ζ^-5＝ｚ”，ｚ”’＝ζ^6＋ζ^7＋ζ^-6＋ζ^-7とおくと，
ｚ”＋ｚ”’＝ｗ’，ｚ”ｚ”’＝−１
となるから，ｚ”はｘ^2−ｗ’ｘ−１＝０の根．
ｚ”＝（−１−√１７＋√（３４＋２√１７））／４
ｙはｘ^2−ｙｘ＋ｙ”＝０の根より，
ｙ＝２ｃｏｓ（２π／１７）＝１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４
が得られる．→コラム「初等幾何の楽しみ（その２４）」参照
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【２】円分多項式の登場
ｘ^n−１の因数分解が，ｎの約数ｄを使って次のように書駆れることを考えます．
ｘ−１＝Φ1（ｘ）
ｘ^2−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）
ｘ^3−１＝Φ1（ｘ）Φ3（ｘ）
ｘ^4−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ4（ｘ）
ｘ^5−１＝Φ1（ｘ）Φ5（ｘ）
ｘ^6−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）
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ｘ^18−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ18（ｘ）
ｘ^36−１＝Φ1（ｘ）Φ2（ｘ）Φ3（ｘ）Φ4（ｘ）Φ6（ｘ）Φ9（ｘ）Φ12（ｘ）Φ18（ｘ）Φ36（ｘ）
すると
Φ1（ｘ）＝ｘ−１
Φ2（ｘ）＝ｘ＋１
Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１
Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１
Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１
Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１
Φ7（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^5＋ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１ｘ−１
Φ8（ｘ）＝ｘ^4＋１
Φ9（ｘ）＝ｘ^6＋ｘ^3＋１
Φ12（ｘ）＝ｘ^4−ｘ^2＋１
Φ15（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^7＋ｘ^5−ｘ^4＋ｘ^3−ｘ＋１
Φ16（ｘ）＝ｘ^8＋１
Φ18（ｘ）＝ｘ^6−ｘ^3＋１
Φ24（ｘ）＝ｘ^8−ｘ^4＋１
Φ36（ｘ）＝ｘ^12−ｘ^6＋１
と定まります．
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【３】円分多項式の解
［１］Φ1（ｘ）＝ｘ−１＝０
ｘ＝１
［２］Φ2（ｘ）＝ｘ＋１＝０
ｘ＝−１
［３］Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１＝０
ｘ＝（−１±ｉ√３）／２＝ω，ω^2
［４］Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１＝０
ｘ＝±ｉ
［５］Φ6（ｘ）＝ｘ^2−ｘ＋１＝０
ｘ＝（１±ｉ√３）／２
［６］Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０
ガウス平面で正５角形の頂点を表す４次方程式
ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０
の両辺をｘ^2でわり，
ｘ^2＋ｘ＋１＋１／ｘ＋１／ｘ^2＝０ （相反方程式）
ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／５）
と変数変換すると２次方程式
ｙ^2＋ｙ−１＝０
に帰着され，
ｙ＝（√５−１）／２＝２ｃｏｓ（２π／５）
ｃｏｓ（２π／５）＝（√５−１）／４
が得られる．→コラム「初等幾何の楽しみ（その２３）」参照
正三角形。正方形，正六角形に較べ，正５角形はなぜ描くのが難しいのかという問いに対するい答えは円分多項式にあるというわけです．
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【４】円分多項式の解の代入
［１］Φ1（ｘ）＝ｘ−１＝０，ｘ＝１の代入
Φn（１）の値として現れる数は１以外は素数である
［２］Φ2（ｘ）＝ｘ＋１＝０，ｘ＝−１の代入
Φn（−１）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である
［３］Φ3（ｘ）＝ｘ^2＋ｘ＋１＝０，ｘ＝ω，ω^2の代入
Φn（ω）Φn（ω^2）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である
［４］Φ4（ｘ）＝ｘ^2＋１＝０，ｘ＝±ｉ2の代入
Φn（ｉ）Φn（−ｘ）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である
［５］Φ5（ｘ）＝ｘ^4＋ｘ^3＋ｘ^2＋ｘ＋１＝０，ｘ＝α，β，γ，δの代入
Φn（α）Φn（β）Φn（γ）Φn（δ）の値として現れる数は１以外は素数，あるいは２で割ると素数のベキ乗の形である
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【５】円分多項式を相反多項式にする
ｙ＝ｘ＋１／ｘ＝２ｃｏｓ（２π／ｎ）
Ψ3（ｙ）＝ｙ＋１
Ψ4（ｙ）＝ｙ
Ψ5（ｙ）＝ｙ^2＋ｙ−１
Ψ6（ｙ）＝ｙ−１
Ψ7（ｙ）＝ｙ^3＋ｙ^2−２ｙ−１
Ψ8（ｙ）＝ｙ^2−２
Ψ9（ｙ）＝ｙ^3−３ｙ＋１
Ψ10（ｙ）＝ｙ^2−ｙ−１
Ψ12（ｙ）＝ｙ^2−３
Ψ14（ｙ）＝ｙ^3−ｙ^2−２ｙ＋１
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さらに，三角関数のｎ倍角の公式を起源とするチェビシェフ多項式Ｔn（ｘ），Ｕn（ｘ）において，２Ｔn（ｘ／２），Ｕn（ｘ／２）はΨd（ｘ）で因数分解される．
２Ｔ1（ｘ／２）＝ｘ＝Ψ4（ｘ）
２Ｔ2（ｘ／２）＝ｘ^2−２＝Ψ8（ｘ）
２Ｔ3（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^2−３）＝Ψ4（ｘ）Ψ12（ｘ）
２Ｔ4（ｘ／２）＝ｘ^4−４ｘ^2＝２＝Ψ16（ｘ）
２Ｔ5（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^4−５ｘ^2＋５）＝Ψ4（ｘ）Ψ20（ｘ）
Ｕ1（ｘ／２）＝ｘ＝Ψ4（ｘ）
Ｕ2（ｘ／２）＝（ｘ＋１）（ｘ−１）＝Ψ3（ｘ）Ψ6（ｘ）
Ｕ3（ｘ／２）＝ｘ（ｘ^2−２）＝Ψ4（ｘ）Ψ8（ｘ）
Ｕ4（ｘ／２）＝（ｘ^2＋ｘ−１）（ｘ^2−ｘ−１）＝Ψ5（ｘ）Ψ10（ｘ）
Ｕ5（ｘ／２）＝ｘ（ｘ＋１）（ｘ−１）（ｘ^2−３）＝Ψ3（ｘ）Ψ4（ｘ）Ψ6（ｘ）Ψ12（ｘ）
［参］小池正夫「実験・発見・数学体験」数学書房
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