【１】ｎが平方数でなければ√ｎは無理数である
√２が無理数であることはギリシア数学のなかでも有名な定理で，ピタゴラスが背理法を用いて証明している．
（証）√２が２つの互いに素な整数の比ｐ／ｑで表されるとすると，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2．したがって，ｐは偶数であり，ｐ＝２ｒという形に表すことができる．代入して２で割ると
２ｒ^2＝ｑ^2
が得られるが，ｑが偶数となって互いに素という仮定に反する．
√３が無理数であることも同様に証明できる．
（証）ｐ，ｑを３で割り切れない２つの整数で，√３＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝３ｑ^2と仮定する．ｐは３で割り切れるから，ｐ＝３ｒという形に表すことができる．代入して３で割ると
３ｒ^2＝ｑ^2
が得られるが，ｑが３で割り切れることになり矛盾．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
２で割ることができない２つの整数の積は２で割ることができない．３で割ることができない２つの整数の積は３で割ることができない．この議論は５でも適用され，５で割ることができない２つの整数の積は５で割ることができない．しかし，６ではこの議論は適用できず，検証すべき場合分けが増えていく．それでもこの議論を続けていけば√５，√６，√７，・・・も無理数であることを確認できるが，一般的にｎが平方数でなければ√ｎは無理数であることを証明するには不十分である．
そこで，以下のようにすれば，古代から知られ高校の教科書に載っているものとあまり変わりなく，しかし，異なった味あいがする証明になるだろう．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
√ｎが有理数であるとし，√ｎ＝ｐ／ｑとおくと，
ｐ^2＝ｎｑ^2
が成り立つ．素因数分解ｐ＝ｐ1ｐ2・・・ｐr，ｑ＝ｑ1ｑ2・・・ｑs，ｎ＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ik （ｐ1≦・・・≦ｐr，ｑ1≦・・・≦ｑs，ｎ1＜・・・＜ｎk）を代入すれば
ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ikｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2
ｎは平方数ではないから，ｉ1，・・・，ｉkのうち少なくともひとつは奇数，そこでｉlが奇数であるとする．しかし，ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2とｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2に現れるｎlの個数は０または偶数であるから，素因数分解の一意性に矛盾する．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】3√２＝２^1/3は無理数である
3√２＝ｐ／ｑ （ｐ，ｑは公約数をもたない）
と書けるとすると，
ｐ^3＝２ｑ^3 → ｐは偶数でなければならない
ｐ＝２ｋと書けるとすると，
８ｋ^3＝２ｑ^3 → ４ｋ^3＝ｑ^3 → ｑは偶数でなければならない
ｐ，ｑは公約数２をももつことになり矛盾．よって，3√２は無理数である．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】4√５＝５^1/4は無理数である
√５が無理数であることは既知とする．
（4√５）^2＝√５
より，もし4√５が有理数ならば，√５は有理数となるので矛盾．
無理数の有理数倍，無理数の逆数は無理数であるから
５^3/4＝５／５^1/4 → 無理数
５^5/4＝５・５^1/4 → 無理数
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】φ＝（１＋√５）／２＝２ｃｏｓ３６°は無理数である
ｘは無理数，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数とする．このとき
ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ）
は無理数である．なぜなら．ｙが有理数ならば
ｘ＝（ｄｙ−ｂ）／（ａ−ｃｙ）
は有理数となり矛盾が生じる．これよりφは無理数である．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【５】ｌｏｇ10２は無理数である
有理数，したがって
ｌｏｇ10２＝ｐ／ｑ
と書けると仮定すると
ｑｌｏｇ10２＝ｐ→２^q＝１０^p＝２^p・５^p
同じ数について２通りの素因数分解ができることになり矛盾．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【６】α＝√２＋√３は無理数である
α−√２＝√３
の両辺を２乗して，√２について解くと
√２＝（α^2−１）／２α
αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【７】α＝3√２＋√２は無理数である
α−√２＝3√２
の両辺を３乗して，√２について解くと
√２＝（α^3＋６α−２）／（３α^2＋２）
αが有理数だと仮定すると，√２も有理数であることになり矛盾．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝