円Ｃ1に内接する正三角形，その正三角形に内接する円Ｃ2を考えると，

　　Ｃ2＝Ｃ1／２

である．

　一般に，与えられた三角形の外接円の半径Ｒおよび内接円の半径ｒとおくと，

　　Ｒ≧２ｒ　　　等号は正三角形のときに限る．

となる．

（証明のヒント）

　外接円と内接円の中心間の距離をｄとおくとき，Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2が成り立ちます（オイラーの定理）．この関係式を導き出せば，ただちにＲ≧２ｒがわかるのですが，この関係式を導き出すことは見かけよりもやっかいで，ヘロンの公式を使ったほうがほうが簡単です．

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【１】高次元への拡張

　この不等式は

　　Ｒ／ｒ≧２

とも書けるのですが，Ｒとｒは対称となる図形を外と内から押さえるものですから，Ｒ／ｒに関するこの不等式は「球殻不等式」と呼ぶこともできるでしょう．すなわち，Ｒ／ｒが最小となるもの（最小球殻）を求める問題と考えることができるのです．

　球殻不等式：Ｒ≧２ｒは３次元空間へも拡張できて，４面体では

　　Ｒ≧３ｒ　　　（４面体不等式）

三角形の重心の性質は四面体に遺伝するのです．

　また，４次元以上でもこの規則性が失われることはありそうもなく，同様に類推されます．すなわち，ｎ次元単体でも同様に

　　Ｒ≧ｎｒ　　　（単体不等式）

が成り立ちます．一般に，体積が与えられた単体において，頂点からある任意の点までの距離の和は，その単体が正則でありかつその点が重心であるときに極小値に達します．

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【２】多角形への拡張

　ｎ次元単体について，

　　Ｒ／ｒ≧ｎ

を示しましたが，ここでは次元を大きくするのではなく，辺数ｎを大きくしてｎ角形へ拡張してみましょう．そうすると，任意の凸ｎ角形において，不等式

　　Ｒ／ｒ≧ｓｅｃ（π／ｎ）

等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちます．

（証明）

　単位円に内接する凸ｎ角形の周長Ｌは

　　Ｌ＝２（ｓｉｎα1＋・・・＋ｓｉｎαn）

これより，

　　Ｌ≦２ｎｓｉｎ（π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｌ＝２（ｔａｎα1＋・・・＋ｔａｎαn）

　　Ｌ≧２ｎｔａｎ（π／ｎ）

　一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立ちます．

　　２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）

　等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちますから，定円に外接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最小であり，内接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最大となります．このことは直観的にも理解されるでしょう．

　以上より，

　　Ｒ／ｒ≧ｓｅｃ（π／ｎ）

が得られます．とくに，ｎ＝３の場合，ｓｅｃ（π／３）＝２より，

　　Ｒ／ｒ≧２

となります．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　次に，多角形でなく，多面体の場合を考えてみるために，

　　ωn＝ｎ／（ｎ−２）・π／６　　　ｎ≧３

を導入しておきます．球面上にｎ個の点を配置した場合，２ｎ−４はｎ個の頂点をもつ三角形面正多面体の面数となりますから，△n＝６ωn−πは単位球面が分割されてできる球面三角形の平均面積，また，球面正三角形の場合，２ωnは面積が６ωn−πの球面正三角形△nの１つの内角を表しています．

　ｎ個の頂点またはｎ個の面をもつ凸多面体の内接球半径ｒおよび外接球半径Ｒの間には，球殻不等式

　　Ｒ／ｒ≧√３ｔａｎωn

が成立します．ｎ＝４のとき，ωn＝π／３．したがって，

　　Ｒ／ｒ≧３　　　（４面体不等式）

が得られます．

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【３】非同心円化

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

に引き続き，フースは双心五角形，六角形，七角形，八角形に関する同様の公式も見つけているが，その論文（Nova Acta Petropol XIII, 1798）を入手するのは難しそうである．

　ポンスレーの定理と解析幾何学を用いると

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

は大学入試程度の問題に還元できることがわかった．

［１］双心三角形

　　Ｒ^2−２Ｒｒ＝ｄ^2　　　（オイラーの定理）

［２］双心四角形

　　２ｒ^2（Ｒ^2＋ｄ^2）＝（Ｒ^2−ｄ^2）^2 　　　（フースの定理）

［３］双心五角形

　　ｄ^6−２ｄ^4ｒＲ＋８ｄ^2ｒ^3Ｒ−３ｄ^4Ｒ^2−４ｄ^2ｒ^2Ｒ^2＋４ｄ^2ｒＲ^3＋３ｄ^2Ｒ^4＋４ｒ^2Ｒ^4−２ｒＲ^5−Ｒ^6＝０

［４］双心六角形

　　３ｄ^8−４ｄ^6ｒ^2−１２ｄ^6Ｒ^2＋４ｄ^4ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^2＋１８ｄ^4Ｒ^4＋４ｄ^2ｒ^2Ｒ^4−１２ｄ^2Ｒ^6−４ｒ^2Ｒ^6＋３Ｒ^8＝０

［５］双心七角形

　　ｄ^12＋４ｄ^10ｒＲ−２４ｄ^8ｒ^3Ｒ＋３２ｄ^6ｒ^5Ｒ−６ｄ^10Ｒ^2−４ｄ^8ｒ^2Ｒ^2−１６ｄ^6ｒ^4Ｒ^2−２０ｄ^8ｒＲ^3＋６４ｄ^6ｒ^3Ｒ^3＋１５ｄ^8Ｒ^4＋１６ｄ^6ｒ^2Ｒ^4＋３２ｄ^4ｒ^4Ｒ^4＋６４ｄ^2ｒ^6Ｒ^4＋４０ｄ^6ｒＲ^5−４８ｄ^4ｒ^3Ｒ^5−３２ｄ^2ｒ^5Ｒ^5−２０ｄ^6Ｒ^6−２４ｄ^4ｒ^2Ｒ^6−１６ｄ^2ｒ^4Ｒ^6−４０ｄ^4ｒＲ^7＋１５ｄ^4Ｒ^8＋１６ｄ^2ｒ^2Ｒ^8＋２０ｄ^2ｒＲ^9＋８ｒ^3Ｒ^9−６ｄ^2Ｒ^10−４ｒ^2Ｒ^10−４ｒＲ^11＋Ｒ^12＝０

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