【１】実数のｍ進展開の分布とハウスドルフ次元

　実数のｍ進展開は０〜ｍ−１の数字で表されますが，各数字（０〜ｍ−１）の出現確率をｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1

　　Σｐk＝１，すなわち，ｐ0＋ｐ1＋・・・＋ｐm-1＝１

とします．

　０と１の間の数のうち，ほとんどの実数はｍ進展開したとき，各桁に現れる数字の出現確率が均等であることが知られています（正規数）．

　また，Ｆ（ｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1）を［０，１）上の実数で，各桁に現れる数字（０〜ｍ−１）の出現確率がｐ0，ｐ1，・・・，ｐm-1であるような実数の集合とすると，Ｆのハウスドルフ次元ｄｉｍＦは

　　ｄｉｍＦ＝−Σｐkｌｏｇｐk／ｌｏｇｍ

で定義されます．正規数の集合Ｆ（１／ｍ，・・・，１／ｍ）のルベーグ測度１であり，したがって，その次元も１となります．

　また，０・ｌｏｇ０＝０と約束しておくことにして，［０，１］を３等分して中央の区間を取り除くという操作を繰り返します．このようにして得られる３分割カントル集合は最も有名なフラクタル集合の１例です．３分割カントル集合は３進展開の各桁に１の現れない数の集合Ｆ（１／２，０，１／２）ですが，そのハウスドルフ次元は

　　ｌｏｇ２／ｌｏｇ３＝０．６３０９・・・

となります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】カントルのミドル・サード集合

　実数ｔ（０≦ｔ≦１）は３進表現

　　ｔ＝ａ0／３＋ａ1／３^2＋・・・＋ａn／３^n+1＋・・・

をもつが，カントルのミドル・サード集合Γはａnが０または２のみをとる実数ｔの集合として定義してよい．

　したがって，

　　Γ＝｛ｔ｜ｔ＝２ａ0／３＋２ａ1／３^2＋・・・＋２ａn／３^n+1＋・・・＝Σ(0,∞)２ａn／３^n+1：ただし，ａnは０または１のみをとる｝

（２進表現）と等価である．

　　　ｆ（ｔ）＝０　　　　　　（０≦ｔ≦１／３）

　　　ｆ（ｔ）＝３ｔ−１　　　（１／３≦ｔ≦２／３）

　　　ｆ（ｔ）＝１　　　　　　（２／３≦ｔ≦１）

この定義をすべての実数ｔに拡張して，ｆ（ｔ）は周期２の周期的偶関数とする．

　　ｆ（−ｔ）＝ｆ（ｔ），ｆ（ｔ＋２）＝ｆ（ｔ）

　ｔがΓに含まれるとき，この関数の重要な性質はΓ上で恒等式

　　ｔ＝Σ(0,∞)２ｆ（３^nｔ）／３^n+1

　　ａn＝ｆ（３^nｔ）＝０または１

が成り立つことである．

　このことを用いると，ｔ（０≦ｔ≦１）をΓに制限してもペアノ曲線が正方形や立方体を覆うことができるいたるところで微分不可能な連続曲線であることが証明されるのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝