今回のコラムでは，

　　　　　［１，　１，　１　　］

　　Ｆ3 ＝［１，　ω，　ω^2　］

　　　　　［１，　ω^2，ω　　］

を用いて，一般の３次方程式の解法（カルダノの方法）をを導くことにする．

　ω＝ｅｘｐ（２πｉ／３）とおく．

　　ｚ0＝ａ0＋ａ1＋ａ2

　　ｚ1＝ａ0＋ａ1ω＋ａ2ω^2

　　ｚ2＝ａ0＋ａ1ω^2＋ａ2ω

　ω~＝ω^2より

　　３ａ0＝ｚ0＋ｚ1＋ｚ2

　　３ａ1＝ｚ0＋ｚ1ω^2＋ｚ2ω

　　３ａ2＝ｚ0＋ｚ1ω＋ｚ2ω^2

　　ａ0＝（ｚ0＋ｚ1＋ｚ2）／３

は三角形の重心であり，これを複素平面の原点Ｏにおけば

　　ｚ0＝ａ1＋ａ2

　　ｚ1＝ａ1ω＋ａ2ω^2

　　ｚ2＝ａ1ω^2＋ａ2ω

　　ｚ0ｚ1ｚ2＝ａ1^3＋ａ2^3

と簡単になる．

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【１】カルダノの方法

　　３ａ1＝ｚ0＋ｚ1ω^2＋ｚ2ω

　　３ａ2＝ｚ0＋ｚ1ω＋ｚ2ω^2

より，

　　９ａ1ａ2＝ｚ0^2＋ｚ1^2＋ｚ2^2−ｚ0ｚ1−ｚ0ｚ2−ｚ1ｚ2

　ａ0＝（ｚ0＋ｚ1＋ｚ2）／３を平方して引くと

　　３ａ1ａ2＝−（ｚ0ｚ1＋ｚ0ｚ2＋ｚ1ｚ2）

　ｚ0，ｚ1，ｚ2を３次方程式ｘ^3＋ｐｘ＋ｑ＝０と仮定すると

　　ｐ＝（ｚ0ｚ1＋ｚ0ｚ2＋ｚ1ｚ2），ｚ0ｚ1ｚ2＝−ｑ

であるから，

　　３ａ1ａ2＝−ｐ

　ｚ^3−１＝（ｚ−１）（ｚ−ω）（ｚ−ω^2）のｚをーｚで置き換えて

　　ｚ^3＋１＝（ｚ＋１）（ｚ＋ω）（ｚ＋ω^2）

ここで，ｚ＝ａ1／ａ2とおくと

　　（ａ1＋ａ2）（ａ1＋ａ2ω）（ａ1＋ａ2ω^2）＝ａ1^3＋ａ2^3

　　（ａ1＋ａ2）（ａ1ω＋ａ2ω^2）（ａ1ω^2＋ａ2ω）＝ａ1^3＋ａ2^3

　結局，

　　ａ1^3＋ａ2^3＝−ｑ

　　ａ1^3ａ2^3＝−ｐ／２７

の２つの等式が成り立つが，ａ1^3，ａ2^3は２次方程式

　　ｘ^2＋ｑｘ−ｐ／２７＝０

の２根であることがわかる．

　　ａ1^3＝−ｑ／２＋Δ^1/2

　　ａ2^3＝−ｑ／２−Δ^1/2

　　Δ＝ｑ^2／４＋ｐ^3／２７

　　ｚ0＝ａ1＋ａ2

　　ｚ1＝ａ1ω＋ａ2ω^2

　　ｚ2＝ａ1ω^2＋ａ2ω

により３根ｚ0，ｚ1，ｚ2を得ることができる．

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