【１】多角形の等周問題

　どのような多角形でも辺の長さを変えずに，内角を変えて円に内接させることができます．また，どのような多角形でも辺の長さを変えずに，内角を変えて囲む面積を最大にすることができます．

　ｎ≧４のとき，各辺の長さが指定されたｎ角形の中で，面積が最大のものは円に内接します．さらに周の長さが指定されたｎ角形の中で，面積が最大のものは正ｎ角形です（円を球帽に変えれば球面ｎ角形に対しても成り立つ）．

　単位円に内接する凸ｎ角形の周長Ｌは

　　Ｌ＝２（ｓｉｎα1＋・・・＋ｓｉｎαn）

これより，

　　Ｌ≦２ｎｓｉｎ（π／ｎ）

また，外接する場合，

　　Ｌ＝２（ｔａｎα1＋・・・＋ｔａｎαn）

　　Ｌ≧２ｎｔａｎ（π／ｎ）

　一般に，凸ｎ角形の面積Ｓ，周長Ｌ，内接円の半径ｒ，外接円の半径Ｒの間には，次の不等式が成り立ちます．

　　２ｎｒｔａｎ（π／ｎ）≦Ｌ≦２ｎＲｓｉｎ（π／ｎ）

　　ｎｒ^2ｔａｎ（π／ｎ）≦Ｓ≦１／２ｎＲ^2ｓｉｎ（２π／ｎ）

　等号は正ｎ角形の場合にのみ成り立ちますから，定円に外接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最小であり，内接するｎ角形の中で，正ｎ角形は周長・面積が最大となります．このことは直観的にも理解されるでしょう．

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【２】シュタイナーの定理の有限フーリエ級数を用いた証明

　同じ周長Ｌをもつ平面上のすべてのｎ角形のうち，最大の面積をもつものは正ｎ角形である．

（証）多角形Π＝（ｚ0，ｚ1，・・・，ｚn-1）を等辺ｎ角形とし，

　　ｚa＝Σ(j=0-n-1)ζjωa^j＝ζ0＋ζ1ωa＋ζ2ωa^2＋・・・＋ζn-1ωa^n-1

　　ωa＝ｅｘｐ（２πｉａ／ｎ）　　　（ａ＝０，１，・・・，ｎ−１）

をその頂点の有限フーリエ級数とする．

　直交性の関係より

　　Σ(j=0-n-1)ｚjωa~^j＝ζa・ｎ

　　ζa＝１／ｎ・（ｚ0＋ｚ1ωa~＋ｚ2ωa~^2＋・・・＋ｚn-1ωa~^n-1）

　このとき，

　　Ｌ^2＝Σ(j=0-n-1)｜ｚj−ｚj+1｜^2＝ｎΣ(j=0-n-1)｜ωj−１｜^2｜ζj｜^2＝Σ(j=0-n-1)４ｎ^2（ｓｉｎπｊ／ｎ）^2｜ζj｜^2

　　Ａ＝Σ(j=0-n-1)｜ｘjｙj+1−ｘj+1ｙj｜／２＝Σ(j=0-n-1)Ｉｍ（ｚj~ｚj+1）＝ｎ／２Σ(a=0-n-1)｜ζa｜^2Ｉｓｉｎ（２πａ／ｎ）

より

　　Ｌ^2−（４ｎｔａｎπ／ｎ）Ａ＝Σ(j=2-n-1)４ｎ^2ｓｉｎπｊ／ｎ（ｓｉｎπｊ／ｎ−ｔａｎπ／ｎｃｏｓπｊ／ｎ）｜ζj｜^2

が成り立つ．正ｋ角形であれば，その面積Ａは

　　Ａ＝Ｌ^2／（４ｎｔａｎπ／ｎ）

で与えられる．

　不等式

　　Ａ≦Ｌ^2／（４ｎｔａｎπ／ｎ）　　　（等号は正ｎ角形に対してのみ成り立つ）

において，ｎ→∞とすると

　　Ａ≦Ｌ^2／（４π）　　　（等号は円に対してのみ成り立つ）

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【３】注意

［１］Ｌ^2−（４ｎｔａｎπ／ｎ）Ａ＝Σ(j=2-n-1)４ｎ^2ｓｉｎπｊ／ｎ（ｓｉｎπｊ／ｎ−ｔａｎπ／ｎｃｏｓπｊ／ｎ）｜ζj｜^2の右辺には，ｊ＝０とｊ＝１に対する項はない．

［２］ｊ＝２，３，・・・，ｎ−１に対して，｜ζj｜^2の係数の符号は正である．

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