（その４３）では，ひとつの頂点から他のｎ−１個の頂点までの距離の積（平方和）で統一した形で整理したので，，今回のコラムではすべての２頂点間の距離の積（平方和）で統一しておきたい．

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　正ｎ角形が半径１の円に内接している．２次元の場合，

［定理］すべての２頂点間の距離の積はｎ^n/2に等しい．

　　Πｄ＝ｎ^n/2

［定理］すべての２頂点間の距離の平方の逆数の和公式

　　Σ１／ｄ^2＝ｎ（ｎ^2−１）／２４

［定理］すべての２頂点間の距離の平方和はｎ^2に等しい

　　Σｄ^2＝ｎ^2

が成り立つ（この定理は高次元でも成り立つ）．

　コーシー・シュワルツの不等式（ｕ・ｖ≦｜ｕ｜｜ｖ｜）を適用すれば，

［定理］距離の総和の２乗と距離の２乗の総和の間に

　　（Σｄ）^2≦｛ｎ（ｎ−１）／２｝Σｄ^2＝ｎ^3（ｎ−１）／２＜ｎ^4／２

が成り立つ．

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［１］相加平均・相乗平均不等式

　　Σｄ^2／｛ｎ（ｎ−１）／２｝＝２ｎ／（ｎ−１）

より，

　　｛２ｎ／（ｎ−１）｝^n(n-1)/2≧ｎ^n

　　｛２ｎ／（ｎ−１）｝^(n-1)≧ｎ^2

と同値である（ほぼ２^(n-1)≧ｎ^2と等価）．等号はｎ＝２，３のとき．

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［２］相乗平均・調和平均不等式

　　｛Πｄ^2｝^(2/n(n-1))＝ｎ^(2/(n-1))

　　｛ｎ（ｎ−１）／２｝／Σ１／ｄ^2＝１２（ｎ−１）／（ｎ^2−１）＝１２／（ｎ＋１）

より，

　　ｎ^2≧｛１２／（ｎ＋１）｝^(n-1)

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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［３］相加平均・調和平均不等式

　　Σｄ^2／｛ｎ（ｎ−１）／２｝＝２ｎ／（ｎ−１）

　　｛ｎ（ｎ−１）／２｝／Σ１／ｄ^2＝１２（ｎ−１）／（ｎ^2−１）＝１２／（ｎ＋１）

より，

　　ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−１）≧６

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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［４］チェビシェフの不等式

　チェビシェフの不等式においてｂ＝１／ａと置くと

　　（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2（ｎ−１）^2／４

が証明される．

　　Σ１／ｄ^2＝ｎ（ｎ^2−１）／２４

　　Σｄ^2＝ｎ^2

では，

　　ｎ^3（ｎ^2−１）／２４≧ｎ^2（ｎ−１）^2／４

　　ｎ・（ｎ＋１）≧６（ｎ−１）

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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