ｎ！^2＝（１・２・・・ｎ）（ｎ・・・２・１）＝Πｋ（ｎ＋１−ｋ）

ここで，ｋ（ｎ＋１−ｋ）はｋ＝１のとき最小値ｎ，ｋ＝（ｎ＋１）／２のとき最大値（ｎ＋１）^2／４をとるから

　　Πｎ≦ｎ！^2≦Π（ｎ＋１）^2／４

より

　　ｎ^n/2≦ｎ！≦（ｎ＋１）^n／２^n

したがって，体積要素ｎ^n／ｎ！に関する不等式

　　２^n（１＋１／ｎ）^-n≦ｎ^n／ｎ！≦ｎ^n/2

が成り立つ．

　もし，この不等式を別法で証明するならば

　　ｎ！／ｎ^n＝１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ

に対して，相加平均・相乗平均不等式を適用すると

　　左辺≦（Σｋ／ｎ^2）^n＝（（ｎ＋１）／２ｎ）^n＝１／２^n（１＋１／ｎ）^n

より

　　２^n（１＋１／ｎ）^-n≦ｎ^n／ｎ！

が成り立つ．

　いずれにせよ，直接的に

　　２^n／２≦ｎ^n／ｎ！

を示すことはできないわけであって，この不等式を図形的に容易に示すことができることは面白いだろう．

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