■正三角形の面積の3等分線

 三角形の面積を3等分する線の問題である.中川宏さんは一般の三角形の場合を扱ったが,正三角形ではどうなるのだろうか?

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 正三角形の1辺の長さを1とする(面積√3/4).

[1]頂点と底辺を3等分する点を結んで3等分すると分割線の長さの合計は2√7/3=1.76383・・・となる.

[2]底辺と平行な線で切って,面積を3等分する場合,水平線の長さx,yとすると

  √3/2x^2=√3/4・2/3   x=√(1/3)

  √3/2y^2=√3/4・4/3   y=√(2/3)

したがって,水平線の長さの合計は(1+√2)/√3=1.39385・・・となり[1]よりこの方が短い.

[3]xの中点と底辺の中点を結ぶ場合

  x+1/2=√(1/3)+1/2=1.07735・・・

[4]yの中点と頂点を結ぶ場合

  y+1/√2=√(2/3)+1/√2=1.5236・・・

[5]重心と3頂点を結ぶ場合

  3・√3/2・2/3=√3=1.73205・・・

[6]重心と3辺の中点を結ぶ場合

  3・√3/2・1/3=√3/2=0.866025・・・

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 直線によって面積を3等分する場合は[6]が最短長と思われるが,正三角形を3等分する最短長の曲線は何だろうか?

 正三角形を次々に辺について反転させて1頂点のまわりに6個集めて正六角形を作る(面積3√3/2).そして,六角形の中心を中心とする円でこの面積を3等分する.円の半径をx,yとすると

  πx^2=√3/2

  πy^2=√3

  x=(√3/2π)^(1/2)=0.525038・・・

  y=(√3/π)^(1/2)=0.742516・・・

[7]xの中点と底辺の中点を結ぶ場合

  πx/3+√3/2−x=0.890805・・・

[8]yの中点と頂点を結ぶ場合

  πy/3+y=1.52008・・・

 円弧で分割したとしても[6]のほうが短いことがわかるだろう.

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