相加平均：（ａ＋ｂ）／２，相乗平均：√（ａｂ）に対して，２ａｂ／（ａ＋ｂ）は調和平均と呼ばれる．相加平均，相乗平均に較べ，調和平均はマイナーな存在である．

　ところで，６点（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）を頂点とする正八面体を考える．正八面体には辺が１２本あるが，１２本の辺を１：τ＝（√５−１）／２に内分する点をとると，正２０面体の１２頂点が得られる．

　このとき，正２０面体の１辺の長さｄを求める．余弦定理より

　　ｄ^2＝２（τ／（１＋τ））^2＋２（１／（１＋τ））^2−２τ／（１＋τ）^2＝２（τ^2−τ＋１）／（１＋τ）^2＝（２τ）^2／（１＋τ）^2

　　ｄ＝２τ／（１＋τ）＝３−√５

となるが，

　　２τ／（１＋τ）は１とτの調和平均である．

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【雑感】

　τ＝（１＋√５）／２として，

　　１辺１の正２０面体の外接立方体の１辺τと

　　１辺１の正１２面体の外接立方体の１辺τ^2の

調和平均が整数２打というのも不思議ですよね．ネットで調べたら，調和平均は平均時速で有名だそうです．　　　（中川宏）

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