１直線上に距離１の等間隔で並ぶ点集合ではどの２点間の距離も整数となる．１直線上にない平面点集合として，１辺の長さ１の正ｎ角形を考えよう．正三角形は対角線をもたないから別としても，対角線の長さは正方形で√２，正五角形で（１＋√５）／２，正六角形で√３と２であるから，すべての２頂点間の距離が整数となることはない．
しかしながら，ピタゴラス三角形の３つの頂点間の距離はすべて整数であるし，縦・横の長さが３・４の長方形の４つの頂点間の距離もすべて整数である．
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【１】整数距離の点集合
１直線上にない任意のｎ点間にはｎ（ｎ−１）／２組の距離が考えられるが，どの２点間の距離も整数となるｎ点集合はあるのだろうか？
［参］前原濶，桑田孝泰「知っておきたい幾何の定理」共立出版
では，まず，
［定理］円周上にある無限個の点集合で，どの２点間の距離も有理数であるものが存在する
ことを証明している．
（証）ピタゴラス三角形（３，４，５）の鋭角をαとする．ピタゴラス三角形のひとつの鋭角をθをすると，θ／πは無理数であるから，α／πは無理数となる．
ピタゴラス三角形（３，４，５）を２つ貼り合わせた二等辺三角形（５，５，８）の外接円をとり，この円周上に直線距離で５離れた点を次々にＰ1，Ｐ2，Ｐ3，・・・とする．そのとき中心角は２αで，２α／２πは無理数．したがって非周期的で，円周上に無限個の点が刻まれていく．
トレミーの定理「円に内接する四角形の相対する辺の長さの積の和＝対角線の積」
ＡＢ・ＣＤ＋ＡＤ・ＢＣ＝ＡＣ・ＢＤ
を応用すると
±｜Ｐ1Ｐj+1｜＝（｜Ｐ1Ｐj｜^2−２５）／｜Ｐ1Ｐj-1｜
より，どの２点間の距離も有理数となる．
［系］円周上にある無限個の点集合で，どの２点間の距離も整数であるものが存在する
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【２】グラハムの定理
しかしながら，
［定理］平面上にある４点集合で，どの２点間の距離も奇数であるものは存在しない （グラハムの定理，１９７４年）
（証）４点集合は四面体が平面上に退化して体積が０になった極限と解釈することができる．点Ｐが平面三角形ＡＢＣの平面上になく，４点が四面体の頂点をなすときの四面体の体積公式で，６辺の長さがわかっている四面体の体積は，ケーリー・メンガー行列式Ｍから求められる．Ｇ＝ＸＸ^t（グラミアン）とすると，Ｇ＝１／８・ｄｅｔ｜Ｍ｜．四面体の体積は平行六面体の１／６であるから
Ｖ^2＝１／２８８・ｄｅｔ｜Ｍ｜
２^3（３！）^2Ｖ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 ｃ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｄ^2 ｅ^2 １｜
｜ｂ^2 ｄ^2 ０ ｆ^2 １｜
｜ｃ^2 ｅ^2 ｆ^2 ０ １｜
｜１ １ １ １ ０｜
となる．→コラム「三角形と四角形の幾何学（その３）」参照
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どの２点間の距離も奇数であるような４点集合が存在すると仮定して，背理法を用いる．奇数の２乗は（２ｋ＋１）^2＝４ｋ（ｋ＋１）＋１＝８ｎ＋１であるから，ｄｅｔ（Ｍ）をｍｏｄ８で表すと
｜０ ａ^2 ｂ^2 ｃ^2 １｜ ｜０ １ １ １ １｜
｜ａ^2 ０ ｄ^2 ｅ^2 １｜ ｜１ ０ １ １ １｜
｜ｂ^2 ｄ^2 ０ ｆ^2 １｜＝｜１ １ ０ １ １｜
｜ｃ^2 ｅ^2 ｆ^2 ０ １｜ ｜１ １ １ ０ １｜
｜１ １ １ １ ０｜ ｜１ １ １ １ ０｜
平面４点集合であるから，ｄｅｔ（Ｍ）をｍｏｄ８で計算すると０になるはずであるが，実際に計算してみると４になって矛盾．
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【３】エルデシュの定理
円周上にある無限個の点集合で，どの２点間の距離も整数であるものが存在することはわかったが，平面上の無限個の点集合で，どの２点間の距離も整数であるものは存在するだろうか？
［定理］平面上にある無限個の点集合で，どの２点間の距離も整数であるものは１直線上に乗っている （エルデシュの定理）
（証）どの２点間の距離も整数であるような無限点集合が存在すると仮定して，背理法を用いる．同一直線上にない平面三角形ＡＢＣと任意の点Ｐに対して，
［１］ＡＰとＢＰの差はｉ（≦ｋ）
［２］ＢＰとＣＰの差はｊ（≦ｌ）
であるから（直線に退化する場合も含み）
［１］点ＰはＡとＢを焦点とする双曲線に乗っている
［２１点ＰはＢとＣを焦点とする双曲線に乗っている
したがって，点Ｐは２つの双曲線の交点であるが，２つの双曲線の交点は４点で，これらの双曲線群の交点として得られる点は高々４（ｋ＋１）（ｌ＋１）個しかない．これは無限点集合であることに矛盾する．
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