θがπの有理数倍ならば，あるｎθがπの整数倍になって，

　　ｔａｎｎθ＝０または∞

となる．

　さらに（その２）では，ｔａｎθが有理数でθがπの有理数倍ならば，

　　ｔａｎθ＝０，±１，∞

であることを示した．ｔａｎθ＝ｍ／ｎ，（ｍ，ｎ）＝１と仮定して背理法で証明するか，ｍ，ｎがどちらも±１でないとすれば，ｍ^2＋ｎ^2の奇素因数ｐをとり，ｍｏｄｐの計算をすればよい．

　「ｔａｎθは有理数でθ≠π／４ならば，θ／πは無理数である」という事実は，正多面体元素定理「５種類ある正多面体の元素数は４である」の証明にも用いられている．

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　同様に，ｃｏｓθが有理数でθがπの有理数倍ならば，

　　ｃｏｓθ＝０，±１／２，±１

である．

　したがって，ａｒｃｃｏｓ（√３／２τ）の値は直角と有理比でないことがわかる（τは黄金比）．

　　ａｒｃｃｏｓ（√３／２τ）＝ａｒｃｔａｎ｛（３＋２√５／３）^1/2｝

　「４次元の星形正多面体が１０種に限る」ことを初めて証明したのはファン・オス（１９１５年）であるが，彼の証明にはａｒｃｃｏｓ（√３／２τ）の値が直角と有理比でないことを自明（暗黙の前提）としている点などで不備があったといわれている．その完全な証明と構成とを最終的にまとめたのはコクセター（１９３１年）であった．

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