正多面体の二面角をδとする．
正四面体 → ｃｏｓδ4＝１／３，ｓｉｎδ4＝√８／３
立方体 → ｃｏｓδ6＝０，ｓｉｎδ6＝１
正八面体 → ｃｏｓδ8＝−１／３，ｓｉｎδ8＝√８／３
正十二面体 → ｃｏｓδ12＝−√５／５，ｓｉｎδ12＝√２０／５
正二十面体 → ｃｏｓδ20＝−√５／３，ｓｉｎδ20＝２／３
今回のコラムではθを正多面体の二面角をして，θ／πは無理数であることを示す．
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【１】正四面体の場合
［Ｑ］角δがｔａｎδ＝２√２を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．
［Ａ］もしδがπの有理数倍ならば，あるｎに対しｎδがπの整数倍となって，ｔａｎｎδ＝０または∞となる．そこで，すべての整数ｎに対し，ｔａｎｎδ≠０，∞であることを示す．
加法公式
ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ｔａｎδ＋ｔａｎｎδ）／（１−ｔａｎδｔａｎｎδ）
より，
ｔａｎδ＝２√２
ｔａｎ２δ＝−４√２／７
ｔａｎ３δ＝１０√２／２３
ｔａｎ４δ＝−５６√２／１７
ｔａｎｎδ＝ａ√２／ｂ
ならば
ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ａ＋２ｂ）√２／（ｂ−４ａ）
帰納的にｔａｎｎδはすべてのｎに対して√２の有理数倍（＝ａ√２／ｂ）であることがわかる．
この分数の（ａ，ｂ）＝（２，１）から出発して，（分子，分母）＝（ａ＋２ｂ，ｂ−４ａ）を（ｍｏｄ ３）でみると
（２，１）
（４，−７）＝（１，２）
（−１０，−２３）＝（２，１）
（−５６，１７）＝（１，２）
の２ステップの繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．
ところで，この証明には（ｍｏｄ ３）が現れた．あまりにも唐突すぎて，この意味をわかるひとはたとえいたとしても少ないと思われる．
Ｚ4＝ｃｏｓδ＋ｉｓｉｎδ＝１／３＋ｉ√８／３
ｚ−１／３＝ｉ√８／３
より，Ｚ4は２次方程式３ｚ^2−２ｚ＋３＝０の解であるからというのがその理由である．
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【２】正八面体の場合
［Ｑ］角δがｔａｎδ＝−２√２を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．
［Ａ］
ｔａｎδ＝−２√２
ｔａｎ２δ＝４√２／７
ｔａｎ３δ＝−１０√２／２３
ｔａｎ４δ＝５６√２／１７
ｔａｎｎδ＝ａ√２／ｂ
ならば
ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ａ−２ｂ）√２／（ｂ＋４ａ）
Ｚ8＝ｃｏｓδ＋ｉｓｉｎδ＝−１／３＋ｉ√８／３
ｚ＋１／３＝ｉ√８／３
より，Ｚ8は２次方程式３ｚ^2＋２ｚ＋３＝０の解である．
そこで，この分数の（ａ，ｂ）＝（−２，１）から出発して，（分子，分母）＝（ａ−２ｂ，ｂ＋４ａ）を（ｍｏｄ ３）でみると
（−２，１）＝（１，１）
（−４，−７）＝（２，２）
（１０，−２３）＝（１，１）
（５６，１７）＝（２，２）
の２ステップの繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．
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【３】正十二面体の場合
［Ｑ］角δがｔａｎδ＝−２を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．
［Ａ］
ｔａｎδ＝−２
ｔａｎ２δ＝４／３
ｔａｎ３δ＝−２／１１
ｔａｎ４δ＝−２４／７
ｔａｎ５δ＝−３８／４１
ｔａｎｎδ＝ａ／ｂ
ならば
ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（ａ−２ｂ）／（２ａ＋２ｂ）
Ｚ12＝−√５／５＋√２０／５ｉ
ｚ＋√５／５＝−ｉ√２０／５
より，Ｚ12は２次方程式５ｚ^2＋２√５ｚ＋５＝０の解である．
そこで，この分数の（ａ，ｂ）＝（−２，１）から出発して，（分子，分母）＝（ａ−２ｂ，２ａ＋ｂ）を（ｍｏｄ ５）でみると
（−２，１）＝（３，１）
（−４，−３）＝（１，２）
（２，−１１）＝（２，４）
（２４，−７）＝（１，３）
（３８，−４１）＝（３，１）
の４ステップの繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．
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【４】正二十面体の場合
［Ｑ］角δがｔａｎδ＝−２√５／５を満たすならば，δはπの有理数倍ではない．
［Ａ］
ｔａｎδ＝−２√５／５
ｔａｎ２δ＝−４√５
ｔａｎ３δ＝２２√５／３５
ｔａｎ４δ＝８√５／７９
ｔａｎｎδ＝ａ√５／ｂ
ならば
ｔａｎ（ｎ＋１）δ＝（５ａ−２ｂ）√５／（１０ａ＋５ｂ）
Ｚ20＝−√５／３＋２／３ｉ
ｚ＋√５／３＝−ｉ２／３
より，Ｚ20は２次方程式３ｚ^2＋２√５ｚ＋３＝０の解である．
そこで，この分数の（ａ，ｂ）＝（−２，５）から出発して，（分子，分母）＝（５ａ−２ｂ，１０ａ＋５ｂ）を（ｍｏｄ ３）でみると
（−２，５）＝（１，２）
（−２０，５）＝（１，２）
（−１１０，−１７５）＝（１，２）
（−２００，−１９７５）＝（１，２）
の繰り返しになることがわかる．したがって，ａ，ｂのどちらも０にはなり得ず，ｔａｎｎδ≠０，∞となる．
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【５】円分拡大のガロア理論
［１］円分体
円周のｎ分の１の角をα＝２π／ｎとするとき，
ζ＝ｅｘｐ（αｉ）＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα
は１のｎ乗根である．１，ζ，ζ^2，・・・，ζ^(n-1)のなかで，（ｄ，ｎ）＝１となるζ^dを１の原始ｎ乗根とよぶ．
また，
Φn（ｘ）＝Π（ｘ−ζ^d）＝（ｘ^n−１）／ΠΦd（ｘ）
はｎ次の円分多項式とよばれる．その次数はオイラーのφ関数
φ（ｎ）＝＃｛１≦ｄ＜ｎ，（ｄ，ｎ）≠１｝
で与えられる．
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［２］円分拡大のガロア理論
体Ｑ（ζ）はＱ上ｎ次の円分拡大と呼ばれ，
ζ＝ｅｘｐ（αｉ）＝ｃｏｓα＋ｉｓｉｎα
で生成される．それはＱ上，次数φ（ｎ）をもち，そのガロア群はＺnと同型である．とくにｎが素数ｐのとき，次数ｐ−１をもち，そのガロア群はＺpと同型の位数ｐ−１の巡回群である．
る．
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［３］正四面体の場合
円分拡大のガロア理論を用いて，
［Ｑ］角δがｃｏｓδ＝１／３を満たすならば，δはπの有理数倍ではない
ことを証明する．
ｃｏｓδ＝１／３，ｓｉｎδ＝√８／３
であるから
ｚ＝ｃｏｓδ＋ｉｓｉｎδ＝１／３＋ｉ√８／３
を考える．
ｚ−１／３＝ｉ√８／３
より，ｚは２次方程式３ｚ^2−２ｚ＋３＝０の解である．それゆえ，ｚはＱ上の２次拡大体Ｑ（ｚ）＝Ｑ（−√２）を生成する．
δがπの有理数倍ならは，
δ＝ｐ／ｑ・２π （ｐ，ｑ）＝１
と書ける．ｚは１のｑ乗根となるから，円分多項式Φq（ｚ）の次数はφ（ｑ）＝２となる．
もし，ｑ＝ｐ1^e1ｐ2^e2・・・ｐd^edと素因数分解されるならば
φ（ｑ）＝Πｐi^ei-1（ｐi−１）
であるから，φ（ｑ）＝２を与えるｑはｑ＝３，４，６のみで，これらに対応する拡大体はＱ（√−３）とＱ（ｉ）である．
どちらもＱ（√−２）と異なるので矛盾，したがって，δはπの有理数倍ではない．
正八面体→Ｑ（√−２）
正十二面体→Ｑ（√−５）
正二十面体→Ｑ（√−５）
の場合も同様に，δはπの有理数倍ではない．
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