■作図不可能な正7角形と作図可能な正5角形(その2)

 (その1)に対する一松信先生のコメントです.

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 面白い考察ですが,条件不足だから作図不能というのは,予測であっても(また納得する材料ではあっても)少々飛躍があります.

 もちろん,貴兄もご存じと思いますが,正7角形・正9角形が3次方程式に帰着されて,定規とコンパスだけでは作図できないことはアルキメデスまで遡ります.今日の記号を使えば,次のようになります.

[正7角形]x^7−1=0を解く.(x−1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+1)=0として,後の項を

  (x^3+1/x^3)+(x^2+1/x^2)+(x+1/x)+1=0

x+1/x=tと置き換えて

  t^3+t^2−2t−1=0

左辺は有理数の範囲で既約なので,2次式では解けない.

[正9角形]x^9−1=0を解く.(x^3−1)(x^6+x^3+1)=0として,後の項を

  (x^3+1/x^3)+1=0

と変形して,x+1/x=tと置くと

  t^3−3t+1=0

上述と同様に2次式では解けない.なお,これをカルダノの方法で解くと

  t=u+v,u^3+v^3=−1,uv=1

から

  u^3,v^3=(−1+i√3)/2=cos(120°)+isin(120°)

であり,

  u=cos(40°)+isin(40°)

  v=cos(40°)−isin(40°)

  u+v=2cos(40°)

  他の解は2cos(160°),2cos(280°)

 こんなことは貴兄には釈迦に説法とは思いますが,念のために記しました.

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