パスカルの三角形の斜めの項を足すと数列
１，１，２，３，５，８，・・・
が現れます．初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となるこの数列をフィボナッチ数列とよびます．
黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてきます．このことを繰り返し行えば対数らせんが現れますが，この曲線は自然界ではオーム貝などの形にみられ，自己相似的な成長過程を表す理想的な曲線とされています．サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが，対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになります．
今度は逆に１辺の長さがフィボナッチ数列の正方形をらせん状に加えていきます．最初の２つの正方形は１辺の長さが１で，そこに１辺の長さが２の正方形，引き続いて１辺の長さが３，５，８，１３，２１，・・・．すると，優美な対数らせんが現れてきますが，このらせんはほぼ黄金比で外に広がることになります．
ところで，ピタゴラスの問題：ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2を拡張する方向としては，一つには未知数の個数を増すこと（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2，あるいは一般にｘ1^2＋ｘ2^2＋・・・＋ｘn^2＝ｙ^2を解くこと），もう一つには指数を大きくすること（ａ^3＋ｂ^3＝ｃ^3 ，あるいは一般にａ^n＋ｂ^n＝ｃ^nを解くこと）になります．前者の解としては，ｘ1＝−ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2，ｘ2＝２ａ1ａ2，ｘ3 ＝２ａ1ａ3，・・・，ｘn ＝２ａ1ａnとすれば，（ａ1^2＋ａ2^2＋・・・＋ａn^2）^2＝ｙ^2となります．後者は有名なフェルマーの問題でこれには整数解がないことが証明されています．
フィボナッチ数を拡張する方向としては，一つには項数を増すこと，もう一つには初期値を変えることです．
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【１】ｋフィボナッチ数列
フィボナッチ数の一般項Ｆn は
Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2
です．この数列にフィボナッチ（１３世紀のイタリアの数学者でピサのレオナルドとしても知られる）の名を冠したのはフランスの数学者リュカで，ハノイの塔の名で知られる２進法のパズルも１８８３年にリュカによって考案されたものです．
Ｆn＝［φ^n／√５＋１／２］
さらに，１つの項の和がその前の３つの項の和になっている
Ｔn＝Ｔn-1＋Ｔn-2＋Ｔn-3
で定義される数列
１，１，１，３，５，９，１７，・・・
は，フィボナッチ数列の拡張とみなせるので，フィボナッチ（Fibonacci）をもじってトリボナッチ（Tribonacci）数列と呼ばれます．
トリボナッチ数列でも連続する２項の比はある決まった値
１／３｛3√（１９＋３√３３）＋3√（１９−３√３３）＋１｝＝１．８３９・・・
に収束します．これは
ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０
の実根です．
テトラナッチ数列，ペンタナッチ数列，ヘキサナッチ数列，・・・はそれぞれ特性方程式
ｘ^4−ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０
ｘ^5−ｘ^4−ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０
ｘ^6−ｘ^5−ｘ^4−ｘ^3−ｘ^2−ｘ−１＝０
・・・・・・・・・・・・・・
をニュートン法で近似計算してみると超黄金比φkが求められます．
超黄金比φkはただひとつ存在し，
ｘ^k−１＝（ｘ−１）（ｘ^k-1＋・・・＋ｘ＋１）
より，ｋ→∞のときφk→２に近づくことがわかります．
ｋ次のフィボナッチ数は，鉄道の操車場転轍問題のなかに現れます．
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【２】リュカ数列
初項２，第２項１のフィボナッチ数列
２，１，３，４，７，１１，１８，・・・
は彼にちなんでリュカ数列と呼ばれています（１８７７年）．
Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2
Ｌn＝［φ^n＋１／２］
Ｌn＝Ｆn+1＋Ｆn-1
Ｆ2n＝ＦnＬn
Ｌ2n＝Ｌn^2−２（−１）^n
Ｆ2n+1＝Ｆn^2＋Ｆn+1^2
リュカはフィボナッチ数列，リュカ数列を用いてメルセンヌ数（２^n−１）が素数であるかどうかを判定し，（２^127−１）が素数であることを示しています（１８７６年）．この数は１２番目のメルセンヌ素数で，１９５２年の１３番目（２^521−１）からはコンピュータによる発見ですから，コンピュータを使わずに見つけられた最大のメルセンヌ素数になっていて，わかっている最大の素数として最長不倒記録を保ち続けました．
フィボナッチ数列やリュカ数列の一般項は，３項漸化式：
Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2
Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2
の特性方程式
ｘ^2−ｘ−１＝０
の２つの解より，連続する２項の比は黄金比
φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・
に次第に近づくことになります．
すなわち，リュカ数列はフィボナッチ数列と同じ漸化式をもち，連続する２つの項比も黄金比に近づきますが，整除性に関しては多少異なります．フィボナッチ数列の整除性（ｍｏｄ２，３，４，・・・）の周期性については，コラム「フィボナッチ数列と有限体」で述べたのでそれを参照していただきたいのですが，フィボナッチ数では各素数ｐで割り切れるＦnがあるのに対して，リュカ数では統計的に３つの素数のうち２つだけで，あるリュカ数Ｌnが割り切れます．
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