ロシア人のマチアセビッチにより，すべてのディオファントス方程式（不定方程式）の解の存否を判定するアルゴリズムが存在しないことが証明されています．一般に３変数以上のディオファントス方程式を解く有力な方法はまったく見つかっておらず，たとえば，ｘ^3 ＋ｙ^3 ＋ｚ^3 −３＝０が（１，１，１），（４，４，−５）とその並び換え以外の整数解をもつかどうかすらわかっていません．
この証明にはフィボナッチ数の整除性のアイディアを拡張したものが使われているそうです．
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【１】フィボナッチ数の整除性
フィボナッチ数は多くの性質をもっていて，以下にいくつか紹介しておきます．
Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n （カッシーニの公式）
Ｆ1 ＋Ｆ2 ＋Ｆ3 ＋・・・＋Ｆn ＝Ｆn+2 −１
Ｆ1 ＋Ｆ3 ＋Ｆ5 ＋・・・＋Ｆ2n-1＝Ｆ2n
Ｆ2 ＋Ｆ4 ＋Ｆ6 ＋・・・＋Ｆ2n＝Ｆ2n+1−１
Ｆ1^2＋Ｆ2^2＋Ｆ3^2＋・・・＋Ｆn^2＝Ｆn ・Ｆn+1
有名な幾何学的パラドックス＜６４ｃｍ^2 ＝６５ｃｍ^2 ＞は，「不思議の国のアリス」の作者であるルイス・キャロルが創ったとも，パズルの大御所であるサム・ロイドが創ったともいわれているパズルです．きっと，いろいろな本でみたことのある方も多いと思います．このトリックは一直線をなすように使われた２つの線分の傾き３／８，５／１３の相違がわれわれの視力の限界外となる錯覚を利用したもので，もっと先の数，たとえば８／２１とかを使えばより巧妙なトリックになります．Ｆn ・Ｆn+2 ＝Ｆn+1^2−（−１）^n は，３つ並んだフィボナッチ数の真ん中の数の平方は前後の２つの数の積より１大きいか小さいかのどちらかで，このトリックパズルのもとになっています．
また，
Ｆn+2＝ Ｆn+1＋ Ｆn
Ｆn+3＝２Ｆn+1＋ Ｆn
Ｆn+4＝３Ｆn+1＋２Ｆn
Ｆn+5＝５Ｆn+1＋３Ｆn
・・・・・・・・・・・
Ｆn+k＝ＦkＦn+1＋Ｆk-1Ｆn
ここで，ｋ＝ｎ，２ｎ，・・・とすると
Ｆ2n＝ＦnＦn+1＋Ｆn-1Ｆn
Ｆ3n＝Ｆ2nＦn+1＋Ｆ2n-1Ｆn
・・・・・・・・・・・・・・
よりＦknはＦnの倍数であることがわかります，
いいかえれば，３つ目ごとのＦnが偶数，４つ目ごとのＦnはＦ4＝３で割り切れ，５つ目ごとのＦnはＦ5＝５で割り切れます．
１８７６年，リュカはさらにすごい式
ｇｃｄ（Ｆm，Ｆn）＝Ｆgcd(m,n)
が成り立つことを証明しました．
この他のフィボナッチ数の整除性については，各素数ｐで割り切れるＦnがあること，また，奇素数ｐに対して
Ｆp＝５^(p-1)/2 （ｍｏｄｐ）
が成り立つことなどがあげられます．
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【２】マチアセビッチの補題
マチアセビッチの補題とは「Ｆmが（Ｆn）^2の倍数であること」＝「ｍがｎＦnの倍数であること」が同値であるというものです．
Ｆm＝０ （ｍｏｄ Ｆn）であればｍ＝ｋｎはわかっていますから，
Ｆkn＝０ （ｍｏｄ Ｆn^2）
かどうかを調べてみます．
Ｆn≠０ （ｍｏｄ Ｆn^2）
Ｆn+1＝Ｆn-1 （ｍｏｄ Ｆn）より
Ｆ2n＝ＦnＦn+1＋Ｆn-1Ｆn＝２ＦnＦn+1 （ｍｏｄ Ｆn^2）
Ｆ2n+1＝Ｆn+1^2＋Ｆn^2＝２Ｆn+1^2 （ｍｏｄ Ｆn^2）
Ｆ3n＝Ｆ2nＦn+1＋Ｆ2n-1Ｆn＝３Ｆn+1^2Ｆn （ｍｏｄ Ｆn^2）
Ｆ3n+1＝Ｆ2n+1Ｆn+1＋Ｆ2nＦn＝Ｆn+1^3 （ｍｏｄ Ｆn^2）
一般に，
Ｆkn＝ｋＦnＦn+1^k-1，Ｆkn+1＝Ｆn+1^k （ｍｏｄ Ｆn^2）
ここで，Ｆn+1とＦnは互いに素であるから，
「Ｆkn＝０ （ｍｏｄ Ｆn^2）」＝「ｋＦn＝０ （ｍｏｄ Ｆn^2）」＝「ｋ＝０ （ｍｏｄ Ｆn^2）」
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【補】１９７１年，旧ソ連のマチアセビッチは，素数全体をあるひとつのディオファントス方程式の解として表すことにも成功しています．すなわち，すべての素数をつくる式を生み出したことになるのですが，その式は３７次で２４個の変数をもつ多項式と２１次で２１個の変数をもつ多項式でした．これらの多項式は負の値もとり，また，素数は多項式の値として繰り返し出現します．
すべての素数をもれなくつくり，しかも素数以外はつくらない公式は知られていません．素数を完全に定義する式が存在することは証明されていませんし，存在しないともわかっていません．
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