最初のｎ個の階乗の積をスーパー階乗関数

　　Ｐn＝Πｋ！

とする．同様に，ハイパー階乗関数を

　　Ｑn＝Πｋ^k＝１・２^2・・・ｎ^n

二項係数の積を

　　Ｒn＝Π（ｎ，ｋ）

とすると，これらの関係は

　　Ｒn＝（ｎ！）^n+1／Ｐn^2＝Ｑn／Ｐn＝Ｑn^2／（ｎ！）^n+1

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【１】ゼータの平均値とランダム行列の特性多項式の平均値

　１９１８年，ハーディとリトツウッドは

　　１／Ｔ∫(0,T)｜ζ（１／２＋ｉｔ）｜^2ｄｔ　〜　ｌｏｇＴ

すなわち，ゼータの絶対値の２乗に関し，ｓ＝１／２上の長さＴの平均値がｌｏｇＴであるという結果を示した．

　より高いベキ乗では平均値はどうなるのだろうか？　１９２６年，イングハムは

　　１／Ｔ∫(0,T)｜ζ（１／２＋ｉｔ）｜^4ｄｔ〜（ｌｏｇＴ）^4／２π^2

を示した．

　また，ゼータのｋ乗に関して

　　ζ（ｓ）^k＝（Σ１／ｎ^s）^k＝Σｄk（ｎ）／ｎ^s

ここで，ｄk（ｎ）はｎをｋ個の自然数の積で表す表し方の総数を与えるディリクレ級数となることから，１９８４年，コンリーは漸近評価式

　　１／Ｔ∫(0,T)｜ζ（１／２＋ｉｔ）｜^2kｄｔ〜ｃk（ｌｏｇＴ）^2^k2

が成り立つだろうと予想した．

　　ｇk＝∫(0,T)｜ζ（１／２＋ｉｔ）｜^2k／∫(0,T)｜Σｄk（ｎ）／ｎ^1/2+it｜　　　（Ｔ→∞）

と定義すると

　　ｇ1＝１，ｇ2＝２，ｇ3＝４２

となる．

　ｋ≧４の予想は困難だろうと思われたのだが，キーティキングはゼータ関数の固有値が行列の固有値のようなものだとすれば，ゼータ関数の平均は特性多項式の平均値に関係があるだろうと推測し，

　　ｇk＝（ｋ^2）！／１・２^2・・・ｋ^k・（ｋ＋１）^k-1・・・（２ｋ−１）

を得た．

　この式は

　　ｇ1＝１，ｇ2＝２，ｇ3＝９！／１・２^2・３^3・４^2・５＝４２

を満たし，ｋ＝４については

　　ｇ4＝１６！／１・２^2・３^3・４^4・５^3・６^2・７＝２４０２４

となり，その後のコンリーの計算結果と一致した．

　もはや，ゼータ関数の平均とランダム行列の特性多項式の関係を疑う者はいない．これが端緒となり，ゼータ関数の平均とランダム行列の特性多項式の関係について，種々の結果が得られている．

　　［参］小山信也「素数からゼータへ，そしてカオスへ」日本評論社

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【２】係数ｇkの整除性

　　ｇk＝（ｋ^2）！／１・２^2・・・ｋ^k・（ｋ＋１）^k-1・・・（２ｋ−１）

　この式において，

　　ｇ1＝１，ｇ2＝２，ｇ3＝４２，ｇ4＝２４０２４

だが，ｇkが整数であることは決して自明ではなく，にわかには信じがたい．

　そこで，この続きを阪本ひろむ氏に計算してもらったところ

　　ｇ5＝７０１１４９０２０

　　ｇ6＝１６７１６４３０３３７３４９６０

　　ｇ7＝４７５０７３６８４２６４３８９８７９２２８５６０

　　ｇ8＝２２０８１３７４９９２７０１９５０３９８８４７６７４８３０８５７６００

以降ｇ100まで，整数であることが確認された．もはやこの式の整除性を疑うことはできまい．

（Ｑ）係数ｇkは整数であることを証明せよ．

（Ｑ）Ｐ2n／Ｐn^4は整数であることを証明せよ．

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