レイリーの定理（ヴィノグラードフの定理）とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．
フィボナッチ数列では，Ｆn-1／Ｆnは近似的に１／τに，Ｆn-2／Ｆnは１／τ^2に近づいていきます．そこで，ビーティ数列
ａk＝［ｎτ］＝１，３，４，６，８，９，１１，・・・
ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・
これらはどんな整数に対しても重複も除外もされないのですが，まずはその証明から．
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【１】証明
ｗ＜１，ａm＝［ｍ／ｗ］，ｂm＝［ｍ／（１−ｗ）］
とする．整数ｋを数列ａmの１項とすると
ｍ／ｗ−１＜ｋ＝［ｍ／ｗ］＜ｍ／ｗ
ｍ−ｗ＜ｋｗ＜ｍ
一方，整数ｋを数列ｂmの１項とすると
ｍ＜ｋｗ＜ｍ＋１−ｗ
となるｍが存在する．
これらは完全に相補的である．すなわち，与えられた整数ｋはａmかｂmのいずれかの項である．
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【２】α＝τ
α≦βとすると，仮定からαは区間（１，２）にあることがわかりますが，たとえば，
α＝（１＋√５）／２，β＝（３＋√５）／２＝α＋１＝α^2
とき，ａn，ｂnの値は
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
ａn 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16
ｂn 2 5 7 10 13 15 18 20 23 26
ｎ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ａn 17 19 21 22 24 25 27 29 30 32
ｂn 28 31 34 36 39 41 44 47 49 52
ｎ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ａn 33 35 37 38 40 42 43 45 46 48
ｂn 54 57 60 62 65 68 70 73 75 78
ｎ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ａn 50 51 53 55 56 58 59 61 63 64
ｂn 81 83 86 89 91 94 96 99 102 104
ｎ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ａn 66 67 69 71 72 74 76 77 79 80
ｂn 107 109 112 115 117 120 123 125 128 130
これを
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
ａn 1 3 4 6 8 9 11 12 14 16
ｂn 2 5 7 10 13 15
ｎ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ａn 17 19 21 22 24 25 27 29 30 32
ｂn 18 20 23 26 28 31
ｎ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ａn 33 35 37 38 40 42 43 45 46 48
ｂn 34 36 39 41 44 47 49
ｎ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ａn 50 51 53 55 56 58 59 61 63 64
ｂn 52 54 57 60 62 65
ｎ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ａn 66 67 69 71 72 74 76 77 79 80
ｂn 68 70 73 75 78
と並べ直すと，２つの数列は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います．
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【３】α＝√２
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
ａn 1 2 4 5 7 8 9 11 12 14
ｂn 3 6 10 13 17 20 23 27 30 34
ｎ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ａn 15 16 18 19 21 22 24 25 26 28
ｂn 37 40 44 47 51 54 58 61 64 68
ｎ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ａn 29 31 32 33 35 36 38 39 41 42
ｂn 71 75 78 81 85 88 92 95 99 102
ｎ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ａn 43 45 46 48 49 50 52 53 55 56
ｂn 105 109 112 116 119 122 126 1299 133 136
ｎ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ａn 57 59 60 62 63 65 66 67 69 70
ｂn 139 143 146 150 153 157 160 163 167 170
これを
ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
ａn 1 2 4 5 7 8 9 11 12 14
ｂn 3 6 10 13
ｎ 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
ａn 15 16 18 19 21 22 24 25 26 28
ｂn 17 20 23 27
ｎ 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
ａn 29 31 32 33 35 36 38 39 41 42
ｂn 30 34 37 40
ｎ 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
ａn 43 45 46 48 49 50 52 53 55 56
ｂn 44 47 51 54
ｎ 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
ａn 57 59 60 62 63 65 66 67 69 70
ｂn 58 61 64 68
と並べ直すと，２つの数列は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与えるという意味がおわかり頂けると思います．
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