コンウェイ＆ガイ「数の本」の解説を引用すると『１から始まる等差数列の最初のｎ項を足すと，いろいろな多角数が得られる．
１＋１＋１＋１＋１＋・・・からは自然数が得られる：１，２，３，４，５，・・・
１＋２＋３＋４＋５＋・・・からは三角数が得られる：１，３，６，１０，１５，・・・
１＋３＋５＋７＋１１＋・・・からは四角数が得られる：１，４，９，１６，２５，・・・
１＋４＋７＋１０＋１３＋・・・からは五角数が得られる：１，５，１２，２２，３５，・・・
１＋５＋９＋１３＋１７＋・・・からは六角数が得られる：１，６，１５，２８，４５，・・・』
一般に，ｍ角数の第ｎ項は，多角形の辺数ｍは公差よりも２だけ大きいことから，初項１，公差ｍ−２の等差数列の和：
１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝
で与えられることがわかります．
１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝の形の自然数をｍ角数といいます．すなわち，三角数△nとはｎ（ｎ＋１）／２，四角数□nとはｎ^2の形の自然数，すなわち平方数です．また，五角数☆nはｎ（３ｎ−１）／２で表されます．
多角数という名前はそれぞれの図形の点の配置に由来するもので，ピタゴラスらが興味をもった図形数ですから，代数的にではなく図形的に考えてみることにしましょう．そうすると，ｎ−１番目の三角数をΔn-1＝（ｎ−１）ｎ／２とすると，多角形にΔn-1個の点からなる三角形を追加して作ることができるわけですから
ｎ＋（ｍ−２）Δn-1＝１／２・ｎ・｛２＋（ｍ−２）（ｎ−１）｝
とも考えることができるのです．
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【１】数の三角数分割
三角数とは
０，１，３，６，１０，１５，２１，２８，・・・，ｋ（ｋ＋１）／２
のことですが，三角数定理（ガウス，１７９６年）をシンボリックに書くと
ｎ＝△＋△＋△，△＝ｋ（ｋ＋１）／２
すなわち「すべての整数は３つの三角数の和によって表し得る」について，簡単な数値実験から始めることにしましょう．
ｎを越えない最大の三角数をとり，その残りに対して同様に最大の三角数をとる，・・・，そして残りが三角数になるとおしまいというアルゴリズムによって，３個の三角数の和
ｎ＝△＋△＋△
に分解できるように思われます．はたして，これは正しいのでしょうか？
１＝１
２＝１＋１
３＝３
４＝３＋１
５＝３＋１＋１
６＝６
７＝６＋１
８＝６＋１＋１
９＝６＋３
１０＝１０
１１＝１０＋１
１２＝１０＋１＋１
１３＝１０＋３
１４＝１０＋３＋１
１５＝１５
１６＝１５＋１
１７＝１５＋１＋１
１８＝１５＋３
１９＝１５＋３＋１
２０＝１５＋３＋１＋１
２１＝２１
２２＝２１＋１
２３＝２１＋１＋１
２４＝２１＋３
２５＝２１＋３＋１
２６＝２１＋３＋１＋１
２０や２６では４個の三角数の和となり，このアルゴリズムは２０で破綻してしまいます．しかし，これらは
２０＝１５＋３＋１＋１＝１０＋１０
２６＝２１＋３＋１＋１＝１５＋１０＋１
のように，より少ない数の三角数和として幾通りかに表すことのでき，すべての正の整数は３個の三角数の和の形に表すことができるというのがガウスの定理です．
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【２】ｍ角数定理
「ｍ角数定理」とは「すべての自然数はたかだかｍ個のｍ角数で表せる」というものです．この定理で，ｍ＝３の場合がガウスの定理「ｎ＝△＋△＋△」，ｍ＝４の場合がラグランジュの定理「ｎ＝□＋□＋□＋□」に相当します．ｍ＝５の場合が五角数定理「ｎ＝☆＋☆＋☆＋☆＋☆」の相当するわけですが，フェルマーが遺して後世を悩ましていたこの命題は，オイラー，ラグランジュ，ルジャンドルなどの研究を経て，１８１３年，コーシーが証明しセンセーションを巻き起こしました．
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【３】三角数定理の証明
ガウスは１７９６年の日記に「わかった！ ｎ＝△＋△＋△」と書いていますが，それはすべての整数は３つの３角数の和によって表しうるという意味で，ｍ＝３の場合についての証明に相当します．
ガウスの発見は８ｎ＋３の形をしたすべての整数を３つの奇数の平方の和として表せることを意味していて，３平方和定理「８ｎ＋７の形の自然数は３つの平方数の和では表せない」を用いると「ｎ＝△＋△＋△」を簡単に示すことができます．
（証明）４^k（８ｎ＋７）でない奇数は３平方和で表せますから，任意の自然数ｎに対して８ｎ＋３＝ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2と書けます．このとき，ｘ＝２ｐ＋１，ｙ＝２ｑ＋１，ｚ＝２ｒ＋１とおくと
ｎ＝ｐ（ｐ＋１）／２＋ｑ（ｑ＋１）／２＋ｒ（ｒ＋１）／２
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