クロソイド曲線は
ｘ（ｓ）＝∫(0,s)ｃｏｓ（θ^2／２）ｄθ
ｙ（ｓ）＝∫(0,s)ｓｉｎ（θ^2／２）ｄθ
で与えられるが，これはフレネル積分の特別な場合である．
その曲率半径は１／ｓ（曲率はｓ）である．ｓは弧長であるから，曲線に沿って原点から遠ざかるにつれて，一定値ｓで曲率は大きくなることがわかる．
［参］垣田高夫ら「現象から微積分を学ぼう」日本評論社
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【１】ディリクレ積分
∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ
の披積分関数をべき級数に展開したのち，項別に積分すると，
ｘ−ｘ^3／３・３！＋ｘ^5／５・５！−・・・
が得られる．正弦積分とは，
Ｓｉ（ｘ）＝∫(0,t)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ
として定義される特殊関数（初等関数によって表し得ない関数）である．
また，その特殊値
Ｓｉ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎｔ／ｔｄｔ＝π／２
はディリクレ積分とも呼ばれる．
∫(0,∞)sinx/xdx=π/2
はよく知られていて，複素積分などを用いて求めることができる．
コラム「シンク関数の数学的諸性質」ではシンク関数の積分
∫(0,∞)Πsin(x/(2k+1))/(x/(2k+1))dx=π/2 k=0~6
∫(0,∞)sin^k(ax)/x^kdx=a^(n-1)π/2-a^(n-1)π/(m-1)!2^(n-1)Σ(-1)^(r-1)(n-1,r-1)(n-2r)^(n-1)
について調べてみた．とくに，
∫(0,∞)Πsin(x/(2k+1))/(x/(2k+1))dx=π/2 k=0~6
では，非常におもしろい現象が起こっていることについて述べた．
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)dx=π/2
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)dx=π/2
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∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)dx=π/2
が成り立ち，これらは一般に
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx=π/2
と書くことができる．Mathematicaを用いて計算してみても，
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,
k=1/(2i+1),i=0~
において，ｉ≦６でπ/2となる．
ところが，ｉ＝７のとき，
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/13)sinc(x/15)dx=R*π
R=467807924713440738696537864469/935615849440640907310521750000
=0.499999999992646･･･
となって，π/2とはならないのである．
さらに検証してみると，ｉ≧７で右辺はπ/2にはならず，ｉ＝８では，
∫(0,∞)sincxsinc(x/3)sinc(x/5)･･･sinc(x/15)sinc(x/17)dx=R*π
R=17708695183056190642497315530628422295569865119/354173907883011952948983529875210935040000000
ｉ≧９でも同様に，有理数ではあるが簡単なものにはならなかった．
次に，係数を変えて
∫(0,∞)Πsinc(kx)dx,
k=1/(3i+1),i=0~
を計算してみた結果，ｉ≦１０でπ/2となった．
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【２】フレネル積分
∫(0,∞)sin√x/xdx=?
において，y=√xとおくと，dx=2ydyより
∫(0,∞)siny/y^2･2ydy=2∫(0,∞)siny/ydy=π
となる．しからば
∫(0,∞)sinx/√xdx=?
というのが今回の問題である．
y=√xとおくと
∫(0,∞)sinx/√xdx=∫(0,∞)siny^2/y･2ydy=2∫(0,∞)siny^2dy
はフレネル積分の特殊値となり，ｘ→∞の極限は
∫(0,∞)sinx/√xdx=√(π/2)
になる．
結論を先にいってしまったが，披積分関数をべき級数に展開したのち，項別に積分すると，次の展開式が得られるという．
(∫(0,∞)sinx/√xdx）^2=Σ(2k)!/2^2k(k!)^2･1/(2k+1)
=Π4k^2/(4k^2-1)=π/2
フレネル積分に対して，［１］と同様の拡張を施してみたが，フレネル積分では，おもしろい現象は起こらなかった．→コラム「フレネル積分の諸性質」参照
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【３】広義ディリクレ積分の収束性
［１］α，βが正の定数でα＞β−１を満たすとき，広義積分
∫(0,1)sinx^α/x^βdx=?
が収束することを示す．
ｘ→０のとき，ｓｉｎｘ／ｘ→１であるから，ある定数Ｃ1，Ｃ2があって
Ｃ1≦ｓｉｎｘ／ｘ≦Ｃ2
が成り立つ．ゆえに
Ｃ1ｘ^（α−β）≦ｓｉｎｘ^α／ｘ^β≦Ｃ2ｘ^（α−β）
Ｃ1∫(h,1)ｘ^（α−β）ｄｘ≦∫(h,1)ｓｉｎｘ^α／ｘ^βｄｘ≦Ｃ2∫(h,1)ｘ^（α−β）ｄｘ
β−α＜１より，ｈ→０の極限をとると，ｈについて単調減少で下に有界であるから，当該の広義積分は存在し，値はＣ1∫(0,1)ｘ^（α−β）ｄｘとＣ2∫∫(0,1)ｘ^（α−β）ｄｘの間にある．
とくに，α＝１，０＜β＜２とすれば，広義積分
∫(0,1)sinx/x^βdx=?
は収束する．したがって，β＝１／２
∫(0,1)sinx/√xdx=?
が存在する．
y=√xと変数変換すると
∫(0,1)sinx/√xdx=∫(0,1)siny^2/y･2ydy=2∫(0,1)siny^2dy
になる．
［２］βが正の定数のとき，広義積分
∫(1,∞)sinx^α/x^βdx=?
が収束することも示すことができる．
［１］，［２］を併せると，フレネル積分
Ｓ（∞）＝∫(0,∞)ｓｉｎ（πｔ^2／２）ｄｔ
の収束は保証されたことになる．
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