（その８）では，ｎ次元立方体の頂点をｋ個おきに結べば，正単体や正軸体ができるかもしれないということがわかったが，実際に構成できるかどうかは別問題である．今回のコラムでは，頂点数の整除性ではなくて対角線の長さを考えて，十分条件を確認してみることにしよう．

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［Ｑ］３次元では立方体から直角三角錐ＲＴを４個取り除くと正四面体になるが，５次元立方体からどのように取り除けばその次元の正単体になるのだろうか？

［Ａ］５次元正１６房体は３２頂点（±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．５次元正１６房体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，（１，１，１，１，１），（１，１，１，−１，−１），（１，１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１，１），（１，−１，１，１，−１），（１，−１，１，−１，１），（１，−１，−１，１，１），（−１，１，１，１，−１）（−１，１，１，−１，１）（−１，１，−１，１，１）（−１，−１，１，１，１），（１，−１，−１，−１，−１）（−１，１，−１，−１，−１），（−１，−１，１，−１，−１）（−１，−１，−１，１，−１），（−１，−１，−１，−１，１）の合計１６頂点が得られる．

　（１，１，１，１，１）を中心として，他の頂点と結んだベクトルは（０，０，０，−２，−２），（０，０，−２，０，−２）などとなる．ひとつの頂点からは（５，２）＝１０本のベクトルがでるが，互いに６０°で交わる長さ２√２のベクトルとなる（正５胞体）．頂点数は１６，４次元面の形は正５胞体となる．ｎ次元空間の正多胞体（ｎ≧５）は３種類であるから，５次元以上の空間では芯（頂点数２^n-1）は正多面体にならず，１種の準正多面体になることがわかる．

［Ａ］正単体の辺の長さは２√３であるから，

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

より，５次元立方体の頂点を２個おきに結べば，正単体ができるかもしれない．

　（１，１，１，１，１）を中心とすると，（１，１，−１，−１，−１），（１，−１，１，−１，−１），（１，−１，−１，１，−１），（１，−１，−１，−１，１），（−１，１，１，−１，−１），（−１，１，−１，１，−１），（−１，１，−１，−１，１），（−１，−１，１，１，−１），（−１，−１，１，−１，１），（−１，−１，−１，１，１）の合計１１頂点が得られる．

　すでにお気づきであろうが，ｎ＝５として合計

　　（ｎ，０）＋（ｎ，３）＝１１

頂点が得られたわけである．しかしながら，１０頂点の頂点間距離は２√３にならない．

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［Ｑ］４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるが，６次元立方体からどのように取り除けばその次元の正軸体になるのだろうか？

［Ａ］ついでに，６次元の場合を調べてみると，６次元立方体は６４頂点（±１，±１，±１，±１，±１，±１）を結んでできる．６次元立方体の中心からひとつおきの頂点を結んだベクトルをとると，±（１，１，１，１，１，１），±（１，１，１，１，−１，−１），±（１，１，１，−１，１，−１），±（１，１，１，−１，−１，１），±（１，１，−１，１，１，−１），±（１，１，−１，１，−１，１），±（１，１，−１，−１，１，１），±（１，−１，１，１，１，−１），±（１，−１，１，１，−１，１），±（１，−１，１，−１，１，１），±（１，−１，−１，１，１，１），±（１，１，−１，−１，−１，−１），±（１，−１，１，−１，−１，−１），±（１，−１，−１，１，−１，−１），±（１，−１，−１，−１，１，−１），±（１，−１，−１，−１，−１，１）の合計３２頂点が得られる．これらの１６本の軸は直交しない．

　たとえ８次元であっても，２４次元であっても芯は正多面体にならず，１種の準正多面体になることがおわかりいただけるであろうか．

［Ａ］正軸体の辺の長さは２√３であるから，

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

より，６次元立方体の頂点を２個おきに結べば，正単体ができるかもしれない．

　（１，１，１，１，１，１）を中心とすると，（１，１，１，−１，−１，−１），（１，１，−１，１，−１，−１），（１，１，−１，−１，１，−１），（１，１，−１，−１，−１，１），（１，−１，１，１，−１，−１），（１，−１，１，−１，１，−１），（１，−１，１，−１，−１，１），（１，−１，−１，１，１，−１），（１，−１，−１，１，−１，１），（１，−１，−１，−１，１，１），（−１，１，１，１，−１，−１），（−１，１，１，−１，１，−１），（−１，１，１，−１，−１，１），（−１，１，−１，１，１，−１）， （−１，１，−１，１，−１，１），（−１，１，−１，−１，１，１），（−１，−１，１，１，１，−１），（−１，−１，１，１，−１，１），（−１，−１，１，−１，１，１），（−１，−１，−１，１，１，１）の合計２１頂点が得られる．

　すでにお気づきであろうが，ｎ＝６として合計

　　（ｎ，０）＋（ｎ，３）＝２１

頂点が得られたわけである．しかしながら，２０頂点の頂点間距離は２√３にならない．

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