（その８）では，ｎ次元立方体の頂点をｋ個おきに結べば，正単体や正軸体ができるかもしれないということがわかったが，実際に構成できるかどうかは別問題である．今回のコラムでは，再び頂点数の整除性を考えて，十分条件を確認してみることにしよう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］３次元では立方体から直角三角錐ＲＴを４個取り除くと正四面体になるが，奇数次元立方体からどのように取り除けばその次元の正単体になるのだろうか？

［Ａ］再び頂点数の整除性を考えると

　　２^n＝２・（ｎ＋１）　→　２^n-1＝ｎ＋１，ｎ＝３　→　３次元立方体の頂点をひとつおきに結べば，正４面体ができる．

　　２^n＝４・（ｎ＋１）　→　２^n-2＝ｎ＋１　→　整数解なし

　　２^n＝８・（ｎ＋１）　→　２^n-3＝ｎ＋１　→　整数解なし

　一般に，「２^nｰk＝ｎ＋１の整数解を求めよ（ｎ＞ｋ）」に対してはグラフを描けばすぐに解は求まるが，この解をグラフを使わないで求めることはできるだろうか？

［１］２^n-k＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ２）

　　ｎ＞ｋのとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝２ｍ−１

　　ｎ＝ｋのとき，１≠ｎ＋１

［２］２^n-k＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ４）

　　ｎ＞ｋ＋１のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝４ｍ−１

　　ｎ＝ｋ＋１のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝ｋのとき，１≠ｎ＋１

［３］２^n-k＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ８）

　　ｎ＞ｋ＋２のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝８ｍ−１

　　ｎ＝ｋ＋２のとき，４＝ｎ＋１

　　ｎ＝ｋ＋１のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝ｋのとき，１≠ｎ＋１

［４］２^n-k＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ１６）

　　ｎ＞ｋ＋３のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝１６ｍ−１

　　ｎ＝ｋ＋３のとき，８≠ｎ＋１

　　ｎ＝ｋ＋２のとき，４＝ｎ＋１

　　ｎ＝ｋ＋１のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝ｋのとき，１≠ｎ＋１

となって（ＮＧを除去すれば）ｎ＝３，ｋ＝１（ｍｏｄ　２^m）であることが示される．したがって，ｎ≧５のとき，整数解なし．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［Ｑ］４次元では正８胞体からＲＰを８個取り除くと１６胞体になるが，偶数次元立方体からどのように取り除けばその次元の正軸体になるのだろうか？

［Ａ］再び頂点数の整除性を考えると

　　２^n＝２・２ｎ　→　２^n-2＝ｎ，ｎ＝４　→　４次元超立方体の頂点をひとつおきに結べば，正１６胞体ができる．

　　２^n＝４・２ｎ　→　２^n-3＝ｎ　→　整数解なし

　　２^n＝８・２ｎ　→　２^n-4＝ｎ　→　整数解なし

［１］２^n-k＝ｎ　　（ｍｏｄ２）

　　ｎ＞ｋのとき，０＝ｎ　→　ｎ＝２ｍ

　　ｎ＝ｋのとき，１≠ｎ

［２］２^n-k＝ｎ　　（ｍｏｄ４）

　　ｎ＞ｋ＋１のとき，０＝ｎ　→　ｎ＝４ｍ

　　ｎ＝ｋ＋１のとき，２≠ｎ

　　ｎ＝ｋのとき，１≠ｎ

［３］２^n-k＝ｎ　　（ｍｏｄ８）

　　ｎ＞ｋ＋２のとき，０＝ｎ　→　ｎ＝８ｍ

　　ｎ＝ｋ＋２のとき，４＝ｎ

　　ｎ＝ｋ＋１のとき，２≠ｎ

　　ｎ＝ｋのとき，１≠ｎ

［４］２^n-k＝ｎ　　（ｍｏｄ１６）

　　ｎ＞ｋ＋３のとき，０＝ｎ　→　ｎ＝１６ｍ

　　ｎ＝ｋ＋３のとき，８≠ｎ

　　ｎ＝ｋ＋２のとき，４＝ｎ

　　ｎ＝ｋ＋１のとき，２≠ｎ

　　ｎ＝ｋのとき，１≠ｎ

となって（ＮＧを除去すれば）ｎ＝４，ｋ＝２（ｍｏｄ　２^m）であることが示される．したがって，ｎ≧６のとき，整数解なし．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝