【１】ゴールドバッハの予想
ゴールドバッハの第２予想：２ｎ＝ｐ＋ｐ
「２より大きいどんな偶数も，２つの素数の和として表すことができる」（１７４２年）は今日でも解決していない．
ゴールドバッハの第１予想：２ｎ＋１＝ｐ＋ｐ＋ｐ
「５より大きいどんな奇数も，３つの素数の和として表すことができる」
は十分大きな奇数については成立することがヴィノグラドフにより示されている（１９３７年）．しかし，その値が大きすぎて全素数について成り立つかどうかはわかっていない．なお，第１予想で３つ目の奇数を３にすることで第２予想となることに注意されたい．
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【２】ド・ポリニャックの予想
「１より大きいすべての奇数は２のベキと素数の和として表すことができる」は３から１２５までの奇数については成り立つが，１２７は反例となっている．
「ｎを任意の偶数とするとき，相続く２つの素数ので差がｎとなる組は無数に存在する」（１８４９年）はｎ＝２すなわち双子素数予想ですら今日に至るまで証明も反証もされていない．
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【３】四色問題
２０世紀のうちに解決された悪名高き難問に，四色問題
「任意の平面地図は高々４色で色分けできるか？」
がある．見た目には簡単には思えるが，実は容易に解ける問題ではなく，多くの間違った証明を生み出し，失敗と部分的解決が繰り返されてきた悪名高い問題である．たとえば，１８７９年，ケンペは４色で十分であることの証明し成功したと考えたのであるが，１１年後の１８９０年にヒーウッドにより誤りを指摘された．ケンペの証明は４色で十分であることの証明にはなっていなかったが，５色で十分であることの証明を含んでいたという．
５色で色分けできることはヒーウッドによって１００年以上も前から知られていたが，四色問題が肯定的に解決されたのは１９７０年代後半のことで，アペルとハーケンはコンピュータを使ってこの証明を成し遂げた．
四色問題の証明は場合分けの数が膨大で，１８７９種類からなる図形の集合と放電手続きの遂行には，コンピュータによる解析に依存せざるを得なかったのである．
かくして４色問題は４色定理となったのであるが，その後，ロバートソン，サンダース，シーモア，トーマスによって証明が簡略化されたが，依然，コンピュータに依存した証明であった．そして，２００４年，ワ−ナーとゴンティエが新たな数学的解決を生み出した．この証明もプログラムの助けは借りているものの，証明自体は人間にも精査できるものであるという．
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【４】整数のレンガ問題
直角三角形では斜辺をｃ，他の二辺をａ，ｂとすると，ピタゴラスの定理「ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2」が成り立つことはよく知られています．特に，三辺の長さが整数である直角三角形をピタゴラス三角形といいます．３元２次の不定方程式ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2の整数解を求める問題をピタゴラスの問題といいますが，（ａ，ｂ，ｃ）＝（３，４，５），（５，１２，１３），（８，１５，１７），・・・などがその解です．
ピタゴラス三角形は無限にあり，その一般形にはいくつかの変形がありますが，ｍ，ｎを整数，ｋを相似係数として
ａ＝ｋ（ｍ^2−ｎ^2），ｂ＝２ｋｍｎ，ｃ＝ｋ（ｍ^2＋ｎ^2）
が形も簡単で広く用いられています．
各辺と空間対角線が自然数になる直方体ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｄ^2は恒等式
ａ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2−ｎ^2）／ｎ，ｂ＝２ｋｌ，ｃ＝２ｋｍ，ｄ＝ｋ（ｌ^2＋ｍ^2＋ｎ^2）／ｎ
で与えられます．ただし，ｎはｌ^2＋ｍ^2の約数でｎ＜√（ｌ^2＋ｍ^2）でなければなりません．一つの文字だけの恒等式
ｎ^2（ｎ＋１）^2＋ｎ^2＋（ｎ＋１）^2＝（ｎ^2＋ｎ＋１）^2
によっても無数に解が求まります．
その次に問題になるのは，すべての辺と空間対角線と各面の対角線が自然数で表されるような直方体が存在するかどうかということです．このレンガには７つの未知数があります．
ａ^2＋ｂ^2＝ｄ^2
ａ^2＋ｃ^2＝ｅ^2
ａ^2＋ｂ^2＝ｆ^2
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＝ｇ^2
空間対角線だけが整数でない最小のレンガはオイラーによって辺が４４，１１７，２４０のものであることが示されています．
ａ＝２４０，ｂ＝４４，ｃ＝１１７，ｄ＝２４４，ｅ＝２６７，ｆ＝１２５，
ｇ＝２７０．６
しかし，当該の「整数のレンガ」問題には解があるともわかっていませんし，問題を解くこと自体が不可能だとも証明されていません．この問題は今日でも未解決のディオファントス問題のうち，最も難しく悪名の高いものになっています．→２０００年，ルーティは頂点間の距離がどれも整数になるような直方体は存在しないことを証明しました．数百年解かれず残っていた問題をやっと証明したのです．
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