ガウス和の指数を２乗和ｋ^2に制限する理由はなく，ｋ^nすなわちガウスの３乗和，４乗和，５乗和，６乗和，・・・と一般化することもできる．

　（その２）では，（ａ，ｍ）＝１として

　　Ｓ（ａ，ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（２πｉ・ａｘ^2／ｍ）

とおいたが，そこで

　　Ｓ（ａ，ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（２πｉ・ａｘ^n／ｍ）

　　Ｓ’（ａ，ｍ）＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（２πｉ・ａξ^n／ｍ）

として，ｘがｍを法とする完全剰余系を，ξが既約剰余系を動くものとする．このとき，

［１］δ＝（ｎ，ｐ−１）とすると，

　　｜Ｓ（ａ，ｐ）｜≦（δ−１）√ｐ

［２］（ｎ，ｐ）＝１，１＜ｓ≦ｎとすると，

　　Ｓ（ａ，ｐ^s）＝ｐ^s-1，Ｓ’（ａ，ｐ^s）＝０

［３］（ｎ，ｐ）＝１，ｓ＞ｎとすると，

　　Ｓ（ａ，ｐ^s）＝ｐ^n-1（ａ，ｐ^s-n），Ｓ’（ａ，ｐ^s）＝０

が成り立つ．

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　また，（その２）ではａを整数とし

　　Ｕ（ａ，ｐ）＝Σ（ｘ／ｐ）ｅｘｐ（２πｉ・ａｘ／ｐ）　　　(x=1~p-1)

とおいたが，（ａ，ｍ）＝１

　　Ｓ＝Σχ（ｘ）ｅｘｐ（２πｉ・ａｘ^n／ｍ）

　　ｘ^n＝１（ｍｏｄｍ）の解の個数をＫ

とするとき，

［４］｜Ｓ｜≦Ｋ√ｍが成り立つ．

　さらに，

　　Ｓ＝ΣΣν（ｘ）ρ（ｙ）ｅｘｐ（２πｉ・ａｘｙ／ｍ）

　　Σ｜ν（ｘ）｜^2＝Ｘ，Σ｜ρ（ｙ）｜^2＝Ｙ

とするとき，

［５］｜Ｓ｜≦√（ＸＹｍ）が成り立つ．

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　（２ａ，ｍ）＝１として

　　Ｓ＝Σ(k=0~m-1)ｅｘｐ（２πｉ・（ａｘ^2＋ｂｘ）／ｍ）

とおくと，｜Ｓ｜＝√ｍが成り立つことに対して，ここでは（ａ，ｐ）＝１，（ｂ，ｐ）＝１として

　　Ｓ＝Σ(k=0~p-1)ｅｘｐ（２πｉ・（ａｘ^n＋ｂｘ）／ｐ）

とおくと，

［６］｜Ｓ｜＜３／２・ｎ^1/2ｐ^3/4／２が成り立つ．

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