フェルマーは，

　　「ｐが４で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2となる自然数が存在する」

　　「ｐが８で割ると１または３余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2」

　　「ｐが８で割ると１または７余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2」

　　「ｐが３で割ると１余る素数ならば，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2」

となる自然数ｘ，ｙが存在することを発見しました．ｐ＝ｘ^2＋ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2，ｐ＝ｘ^2＋３ｙ^2，・・・などの発見は，類体論の序曲をなすものといえるのです．

　　ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）

　　ｘ^2＋２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−２）（ｘ−ｙ√−２）

　　ｘ^2−２ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√２）（ｘ−ｙ√２）

　　ｘ^2＋３ｙ^2＝（ｘ＋ｙ√−３）（ｘ−ｙ√−３）

ですから，それぞれ２次体

　　Ｑ（ｉ），Ｑ（√−２），Ｑ（√２），Ｑ（√−３）

と関係していることは容易に想像されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】平方剰余の相互法則

　　（ａ／ｐ）＝＋１　←→　ａがｐを法とする平方剰余

　　　　　　　　　　　（ｘ^2＝ａ　ｍｏｄｐなる整数ｘが存在するとき）

　　（ａ／ｐ）＝−１　←→　平方非剰余（そうでないとき）

と定義します．

　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０　　（ｍｏｄｐ），（２ａ，ｐ）＝１

の形の合同式を解を見出すことは

　　ｘ^2＝ｑ　　（ｍｏｄｐ），（２ａ，ｐ）＝１

の形の合同式を解を求めることに帰着されます．なぜなら，この合同式は合同式（２ａｘ＋ｂ）＝ｂ^2−４ａｃ　　（ｍｏｄｐ）と同値．したがって，ｚ^2＝ｑに対応して，２ａｘ＋ｂ＝ｑを解けばよいからです．

　そこで，整数ａに対して，

　　ｘ^2＝ａ　　ｍｏｄｐ

となる整数ｘが存在するかどうかを考えると

　　Ｚ／ｐＺ＝Ｆp＝｛０，１，・・・，ｐ−１｝

について代入してみればいいわけで，ｐ＝５の場合，

　　０^2＝０，１^2＝１，２^2＝４，３^2＝９＝４，４^2＝１６＝１

ですから，ａ＝１，４（ｍｏｄ５）のときは平方剰余，ａ＝２，３（ｍｏｄ５）のときは平方非剰余，すなわち，

　　（１／５）＝（４／５）＝１，（２／５）＝（３／５）＝−１

となります．

　　（ａ／ｐ）＝ａ^{(p-1)/2} (mod p)　　　　　（オイラー規準）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

すなわち，オイラー規準において，（−１／ｐ）に関するものが第１補充法則，（２／ｐ）に関するものが第２補充法則と呼ばれます．

　オイラー規準は法ｐに関するａ^{(p-1)/2}の剰余を求めなければならないため，ｐが大きいとき（ａ／ｐ）を決定するのはかなり大変です．それに対して，

　　（ｑ／ｐ）（ｐ／ｑ）＝（−１）^{(p-1)/2}{(q-1)/2}

が有名なガウスの平方剰余の相互法則です．

　前述のように（ｐ／５）は簡単に計算されますが，その際，（５／ｐ）すなわちｘ^2＝５（ｍｏｄｐ）なる整数ｘがあるかどうかについてもわかるというのが平方剰余の相互法則なのです．（ａ／ｐ）はガウスの相互法則を用いてすばやく計算することができます．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　以下，結果だけを紹介します．

［１］Ｑ（√−１）

　　（−１／ｐ）＝（−１）^{(p-1)/2}，ｐ≠２　　（第１補充法則）

ですから，

　　　ｐ＝１（ｍｏｄ４）　→　　１

　　　ｐ＝３（ｍｏｄ４）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／３^s＋１／５^s−１／７^s＋・・・

［２］Ｑ（√２）

　　（２／ｐ）＝（−１）^{(p^2-1)/8}，ｐ≠２　　（第２補充法則）

　　　ｐ＝１，７（ｍｏｄ８）　→　　１

　　　ｐ＝３，５（ｍｏｄ８）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s−１／３^s−１／５^s＋１／７^s＋・・・

［３］Ｑ（√−２）

　　（−２／ｐ）＝（２／ｐ）（−１／ｐ）＝（２／ｐ）（−１）^{(p-1)/2}

　　　ｐ＝１，３（ｍｏｄ８）　→　　１

　　　ｐ＝５，７（ｍｏｄ８）　→　−１

　　　それ以外のとき　　　　　→　　０

　　Ｌ（ｓ，χ）＝１／１^s＋１／３^s−１／５^s−１／７^s＋・・・

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　たとえば，Ｑ（√２）においては，ｐ＝１，７（ｍｏｄ８）なる素数が

　　７＝（３＋√２）（３＋√２）

　　１７＝（５＋２√２）（５−２√２）

　　ｐ＝ｘ^2−２ｙ^2

　Ｑ（√−２）においては，ｐ＝１，３（ｍｏｄ８）なる素数が

　　３＝（１＋√−２）（１−√−２）

　　１１＝（３＋√−２）（３−√−２）

　　ｐ＝ｘ^2＋２ｙ^2

のように分解されます．

　こうして冒頭に掲げた類体論の話に至るのです．

　　「４ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋ｙ^2の形に書ける」

　　「６ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋３ｙ^2の形に書ける」

　　「８ｋ＋１の形の素数はｘ^2^＋２ｙ^2の形に書ける」

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】平方剰余と原始根

［１］ｘ^2＋１＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが４ｍ＋１の形をしているとき，そのときに限り解ける．

　合同式が解けるための条件は

　　（−１／ｐ）＝（−１）^(p-1)/2

［２］ｘ^2＋２＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが８ｍ＋１または８ｍ＋３の形をしているとき，そのときに限り解ける．

　合同式が解けるための条件は

　　（２／ｐ）＝（−１）^(p^2-1)/8

［３］ｘ^2＋３＝０　　　（ｍｏｄ　ｐ）はｐが６ｍ＋１の形をしているとき，そのときに限り解ける．

　合同式は（−３／ｐ）＝１ととき，そのときに限り解ける．

　　（−３／ｐ）＝（ｐ／３）

　　ｐが６ｍ＋１の形のとき１，６ｍ＋５の形のとき−１

［４］３はｐ＝２^n＋１，ｎ＞１という形の任意の素数の原始根である．

　　（ｇ／２^n＋１）＝−１でなければならないが，ｇ＝３はこの要求を満足させる．

［５］２はｐ＝２ｍ＋１，ｍ＝４ｎ＋１という形の任意の素数の原始根である．−２はｐ＝２ｍ＋１，ｍ＝４ｎ＋３という形の任意の素数の原始根である．

　　（ｇ／２ｍ＋１）＝１，ｇ^2＝１（ｍｏｄ２ｍ＋１）となることは許されないが，これらはこの要求を満足させる．

［６］２はｐ＝４ｍ＋１という形の任意の素数の原始根である．

　　（ｇ／４ｍ＋１）＝１，ｇ^4＝１（ｍｏｄ４ｍ＋１）となることは許されないが，ｇ＝２はこの要求を満足させる．

［７］３はｐ＝２^nｍ＋１，ｎ＞１，ｍ＞３^2^(n-1)／２^nという形の任意の素数の原始根である．

　　（ｇ／２^nｍ＋１）＝１，ｇ^2^n＝１（ｍｏｄ２^nｍ＋１）となることは許されないが，ｇ＝３はこの要求を満足させる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝