［１］単一種による空間充填
［２］複数の種類による空間充填
［３］非空間充填
と分類すると，４次元での空間充填の性質から
［１］８胞体，１６胞体，２４胞体（これらはどれもＲＰから構成できる）
［２］なし
［３］５胞体，１２０胞体，６００胞体
に分類される．
［２］のケースは非常に微妙である．４次元では［２］なしだったからよかったものの，３次元あるいは５次元以上でもうまくいくのだろうか？
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【１】３次元の場合
３次元では
［１］立方体
［２］正四面体＋正八面体
［３］正１２面体，正２０面体
に分類される．
２種類の立体で空間充填形ができても，両方をうまく組み合わせてその次元の立方体ができるとは限らず，また，もとの２種類がさらに分割して同一の素片から組み立てられるとも限らない．３次元空間での正八面体と正四面体による空間充填がその典型例であると思われるが，確かめてみよう．
正四面体，正八面体をそれぞれＰ，Ｑとし，そのデーン不変量をＤ（Ｐ），Ｄ（Ｑ）で表すことにする．Ｐ，Ｑは１種類の元素で構成できるものと仮定すると
Ｐ＝ａ1α，Ｑ＝ｂ1α （ａ，ｂは整数）
デーン不変量の線形加法性より，
Ｄ（Ｐ）＝ａ1Ｄ（α）
Ｄ（Ｑ）＝ｂ1Ｄ（α）
Ｌ・Ｄ（Ｐ）＝Ｍ・Ｄ（Ｑ）
Ｌ’δ4＝Ｍ’δ8 （ｍｏｄ π）
（Ｌ，Ｍ，Ｌ’，Ｍ’は整数）
が成り立たなければならないが，δ8＝π−δ4より
Ｎ1δ4＝０ （ｍｏｄ π）
となり矛盾を生じる．すなわち，もとの正八面体と正四面体がさらに分割して同一の素片から組み立てられることはないのである．
しかしながら，両方をうまく解体再編すると立方体ができるので，［１］［２］［３］を合わせると元素数≧４となる．
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【２】５次元以上の場合
超立方体は各次元で空間充填形［１］である．［２］の空間充填形として２種の胞間の角の和が３６０°になるのは，ｎ≧５のとき，８次元の
［１］８次元立方体
［２］８次元正四面体＋８次元正八面体
［３］なし
の場合だけであることがわかっている．
したがって，８次元を除くと
［１］超立方体
［２］なし
［３］正軸体，正単体
となり，元素数＝３は確定である．
８次元の場合，正単体，正軸体をそれぞれＰ，Ｑとし，そのデーン不変量をＤ（Ｐ），Ｄ（Ｑ）で表すことにする．Ｐ，Ｑは１種類の元素で構成できるものと仮定すると
Ｐ＝ａ1α，Ｑ＝ｂ1α （ａ，ｂは整数）
デーン不変量の線形加法性より，
Ｄ（Ｐ）＝ａ1Ｄ（α）
Ｄ（Ｑ）＝ｂ1Ｄ（α）
Ｌ・Ｄ（Ｐ）＝Ｍ・Ｄ（Ｑ）
Ｌ’δs＝Ｍ’δo （ｍｏｄ π）
（Ｌ，Ｍ，Ｌ’，Ｍ’は整数）
が成り立たなければならないが，δo＝π−δs／２より
Ｎ1δs＝０ （ｍｏｄ π）
となり矛盾を生じる．すなわち，もとの正軸体と正単体がさらに分割して同一の素片から組み立てられることはないのである．
また，両方をうまく解体再編しても（Ｅ8格子にはなるが）８次元立方体はできないので，［１］［２］［３］を合わせると元素数＝３となる．
［補］正確にいうと，単独で８次元空間の充填形になるのはＥ8格子のボロノイ領域となる８次元の平行多面体（平行移動で面を貼り合わせて空間充填形になる）で，それは１７２８０個の正単体の１／９（ひとつの頂点が最も近い部分）と２１６０個の正軸体の１／１６（ひとつの頂点が最も近い部分）から成り立つ．
この充填形では，正軸体の１つおきの胞に正単体が続き，他の半分の胞は正軸体同士が接する．格子点として１つの格子点を中心にその隣（距離１）の２４０個の頂点を結んでできる８次元の「亜正多面体」は次のような構造をしている．
頂点２４０個，辺６７２０（２４０×２８）本
面（正三角形）６０４８０（６７２０×９）枚
３次元胞（正四面体）２４１９２０（６０４８０×４）個
４次元胞（正五胞体）２４１９２０（６０４８０×４）個
５次元胞（正単体）４８３８４０個
６次元胞（正単体）２０７３６０個
＝４８３８４０×３／７＝２４０×８６４
＝（１７２８０×８＋２１６０×２^7）／２
７次元胞：各６次元胞に正軸体２個と正単体１個が合わさり
正単体が１７２８０個，正軸体が２１６０個
その体積は
正単体の体積３／２^4８！×１／９×１７２８０＝１／１１２
正軸体の体積２^4／８！×１／１６×２１６０＝６／１１２
の合計（１＋６）／１１２＝１／１６で，案外簡単な数になる．→コラム「Ｅ8格子のボロノイ領域」参照
ともあれ，この図形を分解して，ひとつの素片だけから組み立てようというのは無理であることが証明されたことになる．
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【３】背理法＝矛盾の解消法
空間充填の性質から
［１］単一種による空間充填
［２］複数の種類による空間充填
［３］非空間充填
と分類した．４次元では［２］なしだったからよかったものの［２］のケースは非常に微妙である．
２種類の立体で空間充填形ができても，両方をうまく組み合わせてその次元の立方体ができるとは限らない（３次元ではこれが可能であったため，元素数がひとつ減少した）．また，もとの２種類がさらに分割して同一の素片から組み立てられるとも限らない（３次元，８次元とも不可能であった）．そのあたりを背理法を使って矛盾を暴きだす必要があった．
ところで，矛盾とは「韓非子」からの故事成語である．辻褄が合わないこと，筋道が通らないこと，理に背くことの意．素数が無限に存在すること・√２が無理数であることは，ギリシア数学のなかでも有名な定理で，それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明している．
余談であるが，同じ数学的結果であっても，個人的な趣味（重要度の価値判断）によってはTheoremにもなるし，Propositionにもなるし，Lemmaにもなるし，Corollaryにさえなり得る．数学自身が矛盾を内包しているように思える．厄介な問題かもしれないが，表現を統一することはできないものだろうか？
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