オイラーの関数は，０〜ａ−１の数の中でａと互いに素なものの個数を表す関数で，ａ＝ｐ1^α1・ｐ2^α2・・・・ｐk^αkと素因数分解される場合，

　　φ（ａ）＝ａ（１−１／ｐ1）（１−１／ｐ2）・・・（１−１／ｐk）

＝（ｐ1^α1−ｐ1^α1-1）（ｐ2^α2−ｐ2^α2-1）・・・（ｐk^αk−ｐk^αk-1）

で表されます．

　コラム「ファレイ数列（その２）」において，位数ｎのファレイ数列の長さは，オイラー関数φ（ｎ）を用いて，

　　１＋φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

　〜３（ｎ／π）^2〜０．３０３９６ｎ^2

になる．この近似はｎが大きくなるにつれてよくなっていくことを書きました．今回のコラムではこれを証明してみたいと思いますが，その前にまず・・・．

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［Ｑ］

　　φ（ａ）＝ａ（１−１／ｐ1）（１−１／ｐ2）・・・（１−１／ｐk）

＝（ｐ1^α1−ｐ1^α1-1）（ｐ2^α2−ｐ2^α2-1）・・・（ｐk^αk−ｐk^αk-1）

という表現式に基づいて，素数が無限に多く存在することを証明せよ．

［Ａ］ａ＝ｐ1ｐ2・・・ｐkとおくと

　　φ（ａ）＝（ｐ1−１）（ｐ2−１）・・・（ｐk−１）

一方，素数が有限個（ｋ個）しかないと仮定すると

　　φ（ａ）＝１

でなければならない．

　なお，ｘまでのすべての整数うちで，奇数，すなわち２で割れない数は大体半分（１−１／２）あります．奇数のうちで，３で割り切れない数は２／３＝１−１／３あります．さらに，残っている数のうち，５で割り切れない数は１−１／５あります．したがって，ｘを越えない素数の個数はこれらの積をすべての素数ｐにわたってとればよいことになり，近似的に

　　Π（１−１／ｐ）・ｘ

に等しくなります．また，調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示するとΠ（１−１／ｐ）^-1と書けますから，

　　Π（１−１／ｐ）^-1〜∞．

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［Ｑ］

　　Σφ（ｎ）／ｎ^s＝ζ（ｓ−１）／ζ（ｓ）

が成り立つことを証明せよ．

［Ａ］ｐがすべての素数を動くとき，

　　Σφ（ｎ）／ｎ^s＝Π（１＋φ（ｐ）／ｐ^s＋φ（ｐ^2）／ｐ^2s＋・・・）＝Π（１−１／ｐ^s）／（１−１／ｐ^s-1）＝／ζ（ｓ−１）／ζ（ｓ）

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［Ｑ］

　　Σφ（ｎ）＝３（ｎ／π）^2＋Ｏ（ｎｌｏｇｎ）

が成り立つことを証明せよ．

［Ａ］φ（１）＋φ（２）＋・・・＋φ（ｎ−１）＋φ（ｎ）

＝Σμ（ｄ）／ｄ＋２Σμ（ｄ）／ｄ＋・・・＋ｎΣμ（ｄ）／ｄ

＝Σμ（ｄ）（１＋２＋＋・・・＋［ｎ／ｄ］）

＝Σμ（ｄ）ｎ^2／２ｄ^2＋・・・＋（１＋２＋＋・・・＋［ｎ／ｄ］）

＝Σφ（ｎ）＝３（ｎ／π）^2＋Ｏ（ｎｌｏｇｎ）

＝ｎ^2／２Σμ（ｄ）／２^2＝３（ｎ／π）^2＋Ｏ（ｎｌｏｇｎ）

　なお，約数の個数関数は，ａ＝ｐ1^α1・ｐ2^α2・・・・ｐk^αkと素因数分解される場合，

　　τ（ａ）＝（α1＋１）（α2＋１）・・・（αk＋１）

で表される．

　　Στ（ｎ）＝τ（１）＋τ（２）＋・・・＋φ（ｎ）＝ｎ（ｌｏｇｎ＝２γ−１）＋Ｏ（ｎ^1/3（ｌｏｇｎ）^2）

が成り立つ．

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