正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．３次元の正１２面体の頂点からは正４面体と立方体を作ることができるが，正８面体と正２０面体は面の中心を使わなければ作ることができないから，正１２０胞体ほど完全な万有正多面体ではないのである．

　１２０÷５＝２４なので，一見正６００胞体の１２０個の頂点からうまく選べば正５胞体が２４個含まれても良いように見えるが，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れない．４次元正多胞体の中で正５胞体は何か異端児である．

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【１】正１２０胞体

　４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は，σ＝（３√５＋１）／２，σ’＝（３√５−１）／２とおくと，正６００胞体の頂点を含む（±２，±２，±２，±２），（±４，０，０，０），（０，±４，０，０），（０，０，±４，０），（０，０，０，±４），（±２τ，±２，±２／τ，０）２１６点と（√５，√５，√５，１），（τ^2，τ^2，√５／τ，１／τ），（σ、１／τ，１／τ，１／τ），（τ√５，τ，１／τ^2，１／τ^2）に偶数個の負号をつけた点の置換２５６点，（σ’，τ，τ，τ），（３，√５，１，１）に奇数個の負号をつけた点の置換１２８点で与えられる．１辺の長さ√２（３−√５）＝２√２／τ^2，外接球の半径４．

　ある頂点における長さＬjの対角線の本数をＮjとすると，

　　Ｌ1＝√（２８−１２√５），Ｎ1＝４

　　Ｌ2＝√（１２−４√５），Ｎ2＝１２

　　Ｌ3＝√（２４−８√５），Ｎ3＝２４

　　Ｌ4＝２√２，Ｎ4＝１２

　　Ｌ5＝√（３６−１２√５），Ｎ5＝４

　　Ｌ6＝√（２０−４√５），Ｎ6＝２４

　　Ｌ7＝√（３２−８√５），Ｎ7＝２４

　　Ｌ8＝４，Ｎ8＝３２

　　Ｌ9＝√（２８−４√５），Ｎ9＝２４

　　Ｌ10＝√（１２＋４√５），Ｎ10＝１２

　　Ｌ11＝√（４０−８√５），Ｎ11＝２４

　　Ｌ12＝２√６，Ｎ12＝２８

　　Ｌ13＝√（３６−４√５），Ｎ13＝２４

　　Ｌ14＝√（２０＋４√５），Ｎ14＝２４

　　Ｌ15＝４√２，Ｎ15＝５４

　　Ｌ16＝√（４４−４√５），Ｎ16＝２４

　　Ｌ17＝√（２８＋８√５），Ｎ17＝２４

　　Ｌ18＝２√１０，Ｎ18＝２８

　　Ｌ19＝√（２４＋８√５），Ｎ19＝２４

　　Ｌ20＝√（５２−４√５），Ｎ20＝１２

　　Ｌ21＝√（３６＋４√５），Ｎ21＝２４

　　Ｌ22＝４√３，Ｎ22＝３２

　　Ｌ23＝√（３２＋８√５），Ｎ23＝２４

　　Ｌ24＝√（４４＋４√５），Ｎ24＝２４

　　Ｌ25＝√（２８＋１２√５），Ｎ25＝４

　　Ｌ26＝２√１４，Ｎ26＝１２

　　Ｌ27＝√（４０＋８√５），Ｎ27＝２４

　　Ｌ28＝√（５２＋４√５），Ｎ28＝１２

　　Ｌ29＝√（３６＋１２√５），Ｎ29＝４

　　Ｌ30＝８，Ｎ30＝１

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【２】正５胞体

　正５胞体は（−σ’，τ，τ，τ），（τ，−σ’，τ，τ），（τ，τ，−σ’，τ），（τ，τ，τ，−σ’），（−２，−２，−２，−２）を結んでできる．辺の長さは，

　　｛２（σ’＋τ）^2｝^1/2＝２√１０

　　｛（σ’−２）^2＋３（τ＋２）^2｝^1/2＝２√１０

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【３】正６００胞体

　一方，正６００胞体は正２４胞体の頂点（±２，±２，±２，±２），（±４，０，０，０），（０，±４，０，０），（０，０，±４，０），（０，０，０，±４）２４点と（±２τ，±２，±２／τ，０）の偶置換で表される９６点，合計１２０点を結んでできる．１辺の長さ２√（６−２√５）＝２（√５−１）＝４／τ，外接球の半径４．

　　Ｌ1＝２√（６−２√５），Ｎ1＝１２

　　Ｌ2＝４，Ｎ2＝２０

　　Ｌ3＝２√（１０−２√５），Ｎ3＝１２

　　Ｌ4＝４√２，Ｎ4＝３０

　　Ｌ5＝２√（６＋２√５），Ｎ5＝１２

　　Ｌ6＝４√３，Ｎ6＝２０

　　Ｌ7＝２√（１０＋２√５），Ｎ7＝１２

　　Ｌ8＝８，Ｎ8＝１

　対角線の長さは２√１０となり得ないことから，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れないことがわかる．

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