高次元空間では直観がほとんどきかず，座標で計算することが基本になる．４次元正多胞体の二面角もその例である．

　　正５胞体　→　ｃｏｓδ5＝１／４，ｓｉｎδa＝√１５／４　（７５°ほど）

　　正８胞体　→　ｃｏｓδ8＝０，ｓｉｎδ8＝１　（９０°）

　　正１６胞体　→　ｃｏｓδ16＝−１／２，ｓｉｎδ16＝√３／２　（１２０°）

　　正２４胞体　→　ｃｏｓδ24＝−１／２，ｓｉｎδ24＝√３／２　（１２０°）

　　正１２０胞体　→　ｃｏｓδ120＝−（√５＋１）／４，ｓｉｎδ120＝（１０−２√５）^1/2／４　（１４４°）

　　正６００胞体　→　ｃｏｓδ600＝−（３√５＋１）／８，ｓｉｎδ600＝（√１５−√３）／８　（１６５°ほど）

である．

　正５胞体（ｃｏｓδ1＝１／４，ｓｉｎδ1＝√１５／４）と正６００胞体の二面角（ｃｏｓδ2＝−（３√５＋１）／８，ｓｉｎδ1＝（√１５−√３）／８）を足すと２４０°になることに注意．

　　ｃｏｓ（δ1＋δ2）＝ｃｏｓδ1ｃｏｓδ2−ｓｉｎδ1ｓｉｎδ2＝−１／２

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【１】デーン不変量

　分解合同の場合は有理係数での独立性が問題となる．６種類の正多面体での分解合同（分解相似？）の関係式は，

　　Ｎ1δ5＋Ｎ2δ8＋Ｎ3δ16＋Ｎ4δ24＋Ｎ5δ120＋Ｎ6δ600≠０　　（ｍｏｄ　π）

と書くことができるが，δ600＝４π／３−δ5より，

　　Ｎ1δ5≠０　　（ｍｏｄ　π）

とより簡潔に書くことができる．

　この証明は，コラム「デーン不変量と二面角の幾何学（その１６）」に譲るが，このことから４次元の正多胞体の元素数は≧２であることがいえるものの煮えきらない結果である．

　この方法で証明できれは強い意味で証明できたことになり，かっこいいのであるが，牛刀割鶏の感あり．正多面体をどのように分解し接合しても元素数はこれ以上減らせないという最小元素数を求めるのに，細分化する元素数に上限を設けない分解合同は無用の長物ということになろう．

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【２】頂点による包含関係（inclusion property）

　頂点の関係から，６種類の４次元正多胞体の包含関係（巡礼）をまとめると，

　　正１６胞体≦正８胞体≦正２４胞体≦正６００胞体≦正１２０胞体

　　正５胞体≦正１２０胞体

となる．すなわち，正１２０胞体の頂点をうまくとると，他の正５，８，１６，２４，６００胞体をすべて作ることができる．その意味で，正１２０胞体は４次元の「万有正多面体」である．

　なお，１２０÷５＝２４なので，一見正６００胞体の１２０個の頂点からうまく選べば正５胞体が２４個含まれても良いように見えるが，正６００胞体の頂点を結んでも同じ中心をもつ正５胞体は作れない．４次元正多胞体の中で正５胞体は何か異端児である．

　ともあれ，頂点による包含関係が確定したところで，４次元正多胞体の元素を構成することにしたい．正６００胞体は正２４胞体のroofをなすが，正１２０胞体は正６００胞体のroofをなすと同時に，正５胞体のroofもなす．３次元の場合でいえばδが２個あるようなもので，正５胞体と正１２０胞体をそれぞれ単独でひとつの元素とみなしても同じことである．

　実際，正１６胞体と正８胞体の間のroofをＲＰとすると

　　ＲＰ１６個　→　正１６胞体

　　ＲＰ２４個　→　正８胞体

　　ＲＰ１９２個→　正２４胞体

となり，４種類の元素（ＲＰ，正５胞体，正６００胞体，正１２０胞体）があればすべての４次元正多胞体を構成できることがわかった．「４次元正多胞体の元素数は≦４である」ことが証明されたことになる．

　この構成法はbest possibleと考えられ，４次元正多胞体をどのように分割し，接合しても元素数は４より減らせそうにないことから

　　［予想］４次元正多胞体の元素数は４である．

と予想される．この状況をなんとか打破することはできないだろうか？

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【３】空間充填（tessellation property）

　一方，空間充填形ができるための必要条件は，二面角の和が２πであることである．

　　Ｎ1δ5＋Ｎ2δ8＋Ｎ3δ16＋Ｎ4δ24＋Ｎ5δ120＋Ｎ6δ600＝２π

これはデーン不変量を弱めたものであることがわかるだろう．

　空間充填との関係から弱い意味での証明の方が，細分化する元素数の上限が正多面体数である場合の最小元素数の決定に適していることが理解される．正多面体の元素定理が「空間充填」と「分解合同」の中間に位置しているとは，このような意味である．

　これを満たす整数解は（Ｎ1，Ｎ2，Ｎ3，Ｎ4，Ｎ5，Ｎ6）＝（０，４，０，０，０，０）（０，０，３，０，０，０）（０，０，０，３，０，０）（１，０，１，０，０，１）であるが，（１，０，１，０，０，１）は局所的空間充填であっても大域的空間充填ではない．

［１］単一種による空間充填の例

［２］複数の種類による空間充填例

［３］非空間充填例

と分類すると，４次元での空間充填の性質から

［１］８胞体，１６胞体，２４胞体（これらはどれもＲＰから構成できる）

［２］なし

［３］５胞体，１２０胞体，６００胞体

の４群に分類される．

　inclusion propertyとtessellation propertyを考え併わせると，元素数４以上ということになる．

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