■ファレイ数列(その2)

 n≧1とする.分母が正でかつτを越えないようなすべての既約分数を増大する順に並べたものを,位数nのファレイ数列と呼ぶ.コラム「補遺・ファレイ数列」ではまったく証明を与えなかったので,今回のコラムでは幾ばくかの証明を添えておきたい.

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【1】ファレイ数列の生成

 n位のファレイ数列とは分子と分母がnを超えない既約な正の有理数全体を大きさの順に並べたものであるが,まず[0/1,1/1]からはじめ,(0+1)/(1+1)=1/2をはじめの2つの分数の間に挿入する.→[0/1,1/1]

漸次,隣接する2項p/qとr/sの間に中間分数

  (p+r)/(q+s)

を挿入する操作を可能な限り続けることによって得られる.

[0/1,1/1]

→[0/1,1/2,1/1](2位のファレイ数列)

→[0/1,1/3,1/2,2/3,1/1](3位のファレイ数列)

→[0/1,1/4,1/3,1/2,2/3,3/4,1/1](4位のファレイ数列)

→[0/1,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,1/1](5位のファレイ数列)

→[0/1,1/6,1/5,1/4,1/3,2/5,1/2,3/5,2/3,3/4,4/5,5/6,1/1](6位のファレイ数列)

→[・・・,0/1,1/7,1/6,1/5,1/4,2/7,1/3,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,2/3,5/7,3/4,4/5,5/6,6/7,1/1,・・・](7位のファレイ数列)

→[0/1,1/5,1/4,2/7,1/3,3/8,2/5,3/7,1/2,4/7,3/5,5/8,2/3,5/7,3/4,4/5,1/1](8位のファレイ数列)

が得られる.

 位数nのファレイ数列の長さは,オイラー関数φ(n)を用いて,

  1+φ(1)+φ(2)+・・・+φ(n−1)+φ(n)

 〜3(n/π)^2〜0.30396n^2

になる.この近似はnが大きくなるにつれてよくなっていく.

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 ファレイ数列では相隣り合う2項[m1/n1,m2/n2]の分母と分子からなる行列式の値m1n2−m2n1は±1である.すなわち,交差積m1n2とm2n1は連続する整数になる.

(証)[0/1,1/1]に対して,0・1−1・1=−1.ad−bc=−が成り立っているような[a/b,c/d]の間に,(a+c)/(b+d)を挿入すれば

  a(b+d)−b(a+c)=(a+c)d−(b+d)c=−1

 さらにl<nでかつa/b<k/l<c/dとなるようなk/lは存在しない.もし存在したとすれば

  k/l−a/b≧1/lb,c/d−k/l≧1/ld

  c/d−a/b≧(b+d)/lbd>1/bd

となって矛盾を生ずる.

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【2】ファレイ数列とディオファントス近似

 任意の実数αは

  α=P/Q+θ/Qn

  0≦Q<n,(P,Q)=1,|θ|=1

の形に表される.

(証)ファレイ数列の中から相隣る2項a/b,c/dをとって,

  a/b≦α<c/d

となったとする.2つの場合,

  a/b≦α<(a+c)/(b+d)

  (a+c)/(b+d)≦α<c/d

に分かれるから,以下の2つの不等式のいずれか一方が成り立つ.

  |α−a/b|<1/b(b+d)

  |α−c/d|≦1/d(b+d)

b+d>nであることを考えればQED.

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 分母が高々dの有理数からなる位数dのファレイ数列の各項は1/d^2≦y<1/(d+1)^2の任意の水平線と交わるフォードの円と対応することにより,いくつかのディオファントス近似に関する定理は,(双曲)幾何学的に自明なものとなる.

 たとえば,任意の無理数αに対して

  |α−p/q|<1/2q^2

を満たすものが無数に存在するという定理がそうである.直線x=αが連接する2つのフォードの円p/q,r/sのどちらか一方に交わる.それがp/qであるとすると|α−p/q|<1/2q^2が成り立たなければならないからである.

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