（その３）は円と直角双曲線の格子点の数え上げ問題であったが，少し補足しておきたい．

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［１］円の格子点

　領域ｘ^2＋ｙ^2≦ｒ^2に含まれる格子点の数をＴとすると

　　Ｔ＝１＋４［ｒ］＋８Σ［√（ｒ^2−ｘ^2）］−４［ｒ／√２］

（証）

　Ｔ1：ｘ＝０，０＜ｙ≦ｒ

　Ｔ2：０＜ｘ≦ｒ／√２，０＜ｙ≦√（ｒ^2−ｘ^2）

　Ｔ3：０＜ｙ≦ｒ／√２，０＜ｘ≦√（ｒ^2−ｙ^2）

　Ｔ4：０＜ｘ≦ｒ／√２，０＜ｙ≦ｒ／√２

とすると，求める数はＴ＝１＋４（Ｔ1＋Ｔ2＋Ｔ3−Ｔ4）

［２］直角双曲線の格子点

　領域ｘｙ≦ｎに含まれる格子点の数をＴとすると

　　Ｔ＝２Σ［ｎ／ｘ］−［ｎ］^2

（証）

　Ｔ1：０＜ｘ≦√ｎ，０＜ｙ≦ｎ／ｘ

　Ｔ2：０＜ｙ≦√ｎ，０＜ｘ≦ｎ／ｙ

　Ｔ3：０＜ｘ≦√ｎ，０＜ｙ≦√ｎ

とすると，求める数はＴ＝Ｔ1＋Ｔ2−Ｔ3

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［３］円の格子点

　領域ｘ^2＋ｙ^2≦ｒ^2に含まれる互いに素な座標をもつ格子点（ｘ，ｙ）の個数をＴとすると

　　Ｔ＝６ｒ^2／π^2＋Ｏ（ｒｌｏｇｒ）

［４］球の格子点

　領域ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2≦ｒ^2に含まれる互いに素な座標をもつ格子点（ｘ，ｙ，ｚ）の個数をＴとすると

　　Ｔ＝４πｒ^3／３ζ（３）＋Ｏ（ｒ^2）

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