正ｎ角形が半径１の円に内接している．２次元の場合，

［定理１］ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．

　　Π(1,n-1)ｄj＝ｎ

［定理２］対角線の長さの平方の逆数の和公式

　　Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝（ｎ^2−１）／１２

［定理３］ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの平方の和は頂点数の２倍に等しい．

　　Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ

が成り立つ（定理３は高次元でも成り立つ）．

　また，コーシー・シュワルツの不等式（ｕ・ｖ≦｜ｕ｜｜ｖ｜）を適用すれば，

［定理４］長さの総和の２乗と長さの２乗の総和の間に

　　（Σ(1,n-1)ｄj）^2≦（ｎ−１）Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ（ｎ−１）＜２ｎ^2

が成り立つ．

　等式の世界は面白いが，不等式の世界だって奥深いものがある．これらの間の相加平均・相乗平均・調和平均の不等式はどうなっているのだろうか？

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［１］相加平均・相乗平均不等式

　　Σ(1,n-1)ｄj^2／（ｎ−１）＝２ｎ／（ｎ−１）

　　｛Π(1,n-1)ｄj^2｝^(1/(n-1))＝ｎ^(2/(n-1))

より，

　　｛２ｎ／（ｎ−１）｝^(n-1)≧ｎ^2

と同値である（ほぼ２^(n-1)≧ｎ^2と等価）．等号はｎ＝２，３のとき．

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［２］相乗平均・調和平均不等式

　　｛Π(1,n-1)ｄj^2｝^(1/(n-1))＝ｎ^(2/(n-1))

　　（ｎ−１）／Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝１２（ｎ−１）／（ｎ^2−１）＝１２／（ｎ＋１）

より，

　　ｎ^2≧｛１２／（ｎ＋１）｝^(n-1)

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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［３］相加平均・調和平均不等式

　　Σ(1,n-1)ｄj^2／（ｎ−１）＝２ｎ／（ｎ−１）

　　（ｎ−１）／Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝１２（ｎ−１）／（ｎ^2−１）＝１２／（ｎ＋１）

より，

　　ｎ（ｎ＋１）／（ｎ−１）≧６

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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［４］チェビシェフの不等式

　チェビシェフの不等式においてｂ＝１／ａと置くと

　　（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2

が証明される．

　たとえば，ｎ＝２のとき，

　　（ａ＋ｂ）（１／ａ＋１／ｂ）＝１＋ａ／ｂ＋ｂ／ａ＋１

　ａ／ｂ＋ｂ／ａ≧２より

　　（ａ＋ｂ）（１／ａ＋１／ｂ）≧４

　（Σａ）・（Σ１／ａ）≧ｎ^2

ではｎ^2個の項が得られるが，ｎ個の１と（ｎ^2−ｎ）／２個の項の対（各対は２以上）の分解されるから，全体の和は

　　≧ｎ＋（ｎ^2−ｎ）＝ｎ^2

になる．

　　Σ(1,n-1)１／ｄj^2＝（ｎ^2−１）／１２

　　Σ(1,n-1)ｄj^2＝２ｎ

では，

　　２ｎ・（ｎ^2−１）／１２≧（ｎ−１）^2

　　ｎ・（ｎ＋１）≧６（ｎ−１）

と同値である．等号はｎ＝２，３のとき．

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［５］高次元の場合

［定理５］すべての辺と対角線の長さの平方の和は頂点数の２乗に等しい．

　　Σ(1,n(n-1)/2)ｄj^2＝ｎ^2

は成り立つが，このことから逆に

［予想１］すべての辺と対角線の長さの積は

　　Π(1,n(n-1)/2)ｄj≦ｎ^(n/2)

［予想２］対角線の長さの平方の逆数の和は

　　Σ(1,n(n-1)/2)１／ｄj^2≦ｎ（ｎ^2−１）／２４

と予想される．正しいだろうか？→それぞれ（その３０）（その３２）で確認済み．

　また，コーシー・シュワルツの不等式より

［定理６］長さの総和の２乗と長さの２乗の総和の間に

　　（Σ(1,n(n-1)/2)ｄj）^2≦ｎ（ｎ−１）／２Σ(1,n(n-1)/2)ｄj^2＝ｎ^3（ｎ−１）／２＜ｎ^4／２

が成り立つ．

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