ｎ番目の調和数を

　　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ

と定義すると，Ｈ1=1,Ｈ2=3/2,Ｈ3=11/6,･･･,Ｈ∞=∞となります．それでは，・・・

（問）ｎ＞１ならば，Ｈn は整数にはならないことを示せ．

　たとえば，分母が２のべき乗になっている項のうちで，その指数が最大のものを考えると，それと組になる項がどこにもありません．このことから，Ｈnは分子が奇数で，分母が偶数の分数になるのですが，このことをきちんとした形で書いてみましょう．

（証）２^k≦ｎとなる最大の指数をｋ，Ｐをｎ以下のすべての奇数の積とすると，

　　２^(k-1)ＰＨn

　＝２^(k-1)Ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ）

は，２^(k-1)Ｐ／２^k以外の項はすべて整数となる．

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　これに対して，別証を与えてみましょう．

（問）　Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ≠整数

（別証）ｎ未満のｎにもっとも最も近い素数ｐ（＞ｎ／２に必ずある：ベルトラン・チェビシェフの定理「ｎと２ｎの間に素数がある」）を考える．Ｐをｐ未満のすべての素数の積とすると，

　　ＰＨn＝ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｐ＋・・・＋１／ｎ）

　このとき，１／ｐは分母にｐが残り，１／ｐは他に打ち消す項がないので整数になりそうもありません．ｎが素数ならもちろん整数でない．合成数でも奇数の素因子があれば分母に残る．これはおおざっぱですが，これを精密化すれば完全な証明になりそうです．

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