カンタベリー・パズルは「平面ハトメ返し」による分割合同なのですが，その際，正三角形の周は正方形の内部に移り，正方形の周は正三角形の内部の点だけから構成されています．この立体版の分割「立体蝶番返し」も考えることができます．すなわち，立体Ａの表面が立体Ｂの内部に移り，立体Ｂの表面が立体Ａの内部の点だけから構成されているというものです．これはデュドニー分割よりも難しいリバーシブル問題ですが，このような例として秋山仁先生の「キツネヘビ」があげられます．

　菱形十二面体と直方体の間の立体ハトメ返しが「キツネヘビ」，切頂八面体と直方体の間の立体ハトメ返しが「ブタハム」なのですが，空間充填形同士のハトメ返しを作られ，講演ではそのような小道具を使って菱形十二面体，切頂八面体の体積を求めておられます．また，このとき多面体の形が変形するばかりでなく，菱形十二面体，切頂八面体の表面が直方体の内部に隠れることを利用して，黄色（キタキツネ）を緑（ヘビ）に変色させ，キタキツネが一瞬にしてヘビに飲み込まれる様子を表現しています．

　ここでは切頂八面体と菱形十二面体の間の等積変形，いわば「ブタヘビ」を考えることにします．結論を先にいうと，切頂八面体から菱形十二面体への直接的な等積変形は不可能にしても，切頂八面体から２種類の菱形からなる菱形十二面体への「リバーシブル分解合同」は可能なのではなかろうかと秋山先生は考えたに違いありません．そして実際に可能であったのですが，今回はそのレポートをしてみます．

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【１】切頂八面体（菱形１２面体）と立方体の分解合同

　２個の切頂八面体を切断して１個の立方体に並び替えるのは難しくはない．切頂八面体の正方形面を対角線で切断して４等分した多面体を８個組み合わせればよい．しかし，１個の切頂八面体から１個の立方体を作るという問題は難しいだろう．

　　［参］Frederickson GN: Dissections: Plane and Fancy, Cambridge University Press, 1997

は２次元・３次元の分割パズルのコレクションであるが，これには等分でない１３ピースの解が掲げられている（ｐ２４１）．これはリバーシブル分解合同の例ではない．

　同様に，１個の菱形十二面体を切断して２個の立方体に並び替えるのは難しくはないが，１個の菱形十二面体から１個の立方体を作るという問題は難しい．これも等分ではない１３ピースの解が知られている（ｐ２４２）．しかし，これもリバーシブル分解合同の例ではない．

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【２】切頂八面体と菱形１２面体（第３種）のリバーシブル分解合同

　［１］では切頂八面体をその正六角形の対角線と正方形の対角線に沿って表面を切開してから１３ピースに分割している．その際，切頂八面体の表面は２個の四角錐台と４個の屋根型とに切開される．それを切頂八面体の中心に向かって６ピースに（不等分）分割するとリバーシブル分解合同の例が得られる．

　著作権の関係で図や写真は転載できないが，発想の転換というか，どこか秋山先生の「執念」を感じさせる着想である．ともあれ，このようにして，秋山仁先生は２種類の菱形からなる菱形１２面体（第３種）を発見されたわけであるが，２種類の菱形とは対角線の長さの比が√２：√３：√５のもの８枚と１：２：√５のもの４枚である．

　なお，辺の長さが√２：√３：√５の直角三角形はコラム「三角形の７等分」「縮小三角形の問題」で紹介した三角形，辺の長さが１：２：√５の直角三角形は同形４つだけでなく，５つにも分割できる特殊な三角形（レプ５三角形）である．

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【３】雑感

　秋山先生はこのようなリバーシブルな等積変形多面体をすべて決定する試みをされている．ｘｘｘをすべて決定するという試みは簡単ではないと思えるのだが，すでにある程度の結論は得られていたことをレポートして，本稿の結びとしたい．

　なお，合同な菱形だけでできる多面体は菱形３０面体までで，４２面以上の菱形多面体は２種類以上の菱形からなることを申し添えておきたい．たとえば，菱形９０面体は対角線の長さの比が１：τ^2（２．６１８）の菱形３０枚と白銀菱形６０枚から構成される美しい形の多面体であり，１０次元空間における立方体を３次元空間に射影したもの，菱形１３２面体は３種類の菱形からなり，１２次元空間の立方体を３次元空間に射影したものである．

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