ｎ次元正単体を構成するのに，全体を１次元上げたことが影響しているのだろうか？
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［１］鏡映対称変換
３次元の場合，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体
Ｖ1（１，０，０，０）
Ｖ2（０，１，０，０）
Ｖ3（０，０，１，０）
Ｖ4（０，０，０，１）
ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１
をとるとしよう．
ｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｗ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離が等しいときである．点Ｐをｎ−１次元境界多面体上の点（ｗ＝０）として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２
→ ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１
→ ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０
一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として
→ ｘ＝ｎ／Ｓ，ｙ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−２）／ｓ，・・・，ｗ＝０
また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ）であるから，辺の長さは√２｜ｘ−ｙ｜＝√２／Ｓ．
ここでは４次元空間内の距離を求めてはいるが，すべて４次元超平面ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の距離なので問題があるとは思えない．問題があるとすれば，中心から各面までの距離であろう．
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［２］中心から各面までの距離
切頂切稜面と中心座標
Ｐn（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））
の距離を求める．
Ｐ0（１，０，０，・・・，０）
Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）
Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）
Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，０）
とおくと，切頂切稜面はＰkＰnに垂直で，点
Ｑ＝（ｎ／Ｓ，（ｎ−１）／Ｓ，（ｎ−２）／Ｓ，・・・，０）
を通る．
ＰnＰ0＝（１−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））
ＰnＰ1＝（１／２−１／（ｎ＋１），１／２−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））
ＰnＰn-1＝（１／ｎ−１／（ｎ＋１），・・・，１／ｎ−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））
ファセットを定めている不等式は，
ａ・ｘ＝ｃ
で与えられる．一般に，超平面ａ・ｘ＝ｃと点ｘ0の距離は
｜ａ・ｘ0−ｃ｜／‖ａ‖
とくに，原点からファセットまでの距離は｜ｃ｜／‖ａ‖となる．
ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るのだが，原点をＰnに移した方が紛らわしくないので
ａ0＝（１−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））
ｑ＝（ｎ／Ｓ−１／（ｎ＋１），（ｎ−１）／Ｓ−１／（ｎ＋１），（ｎ−２）／Ｓ−１／（ｎ＋１），・・・，０−１／（ｎ＋１））
とすると，この超平面をａ・（ｘ−ｑ）＝０，ａ・ｘ＝ａ・ｑ＝ｃで表すと
ｃ0＝ｎ／２Ｓ，ｈ0＝｜ｃ0｜／‖ａ0‖
ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では
ａ1＝（１／２−１／（ｎ＋１），１／２−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））
ｃ1＝（ｎ−１）／２Ｓ，ｈ1＝｜ｃ1｜／‖ａ1‖
ＰnＰn-1に垂直なｎ次元超平面では
ａn-1＝（１／ｎ−１／（ｎ＋１），１／ｎ−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））
ｃn-1＝１／２Ｓ，ｈn-1＝｜ｃn-1｜／‖ａn-1‖
‖ａk‖^2＝Σ（１／（ｋ＋１）−１／（ｎ＋１））^2＋Σ（１／（ｎ＋１））^2＝（ｎ−ｋ）^2／（ｋ＋１）（ｎ＋１）^2＋（ｎ−ｋ）／（ｎ＋１）^2＝（ｎ−ｋ）／（ｋ＋１）（ｎ＋１）
ｈk＝（ｎ−ｋ）／２Ｓ・｛（ｋ＋１）（ｎ＋１）／（ｎ−ｋ）｝^1/2＝１／ｎ・｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）／（ｎ＋１）｝^1/2
これでもｈk＝ｈn-k+1にはならないが，
ｎ＝３，ｋ＝０のとき．ｈ0＝１／３・｛３／４｝^1/2
ｎ＝３，ｋ＝１のとき．ｈ1＝１／３・｛４／４｝^1/2
ｈ0／ｈ1＝｛３／４｝^1/2＝√３／２
となって，切頂八面体の計量と一致する．
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［３］まとめ
原正多胞体の面数公式を
Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1
また，規格化した後のｋ次元面までの距離をＨkとする．
Ｈk＝ｈkＳ／√２＝｛（ｋ＋１）（ｎ−ｋ）（ｎ＋１）／８｝^1/2
置換多面体の体積公式は
Ｖn＝Ｎ0Ｖn-1Ｈ0／ｎ＋Ｎ1Ｖn-2Ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2Ｈ1／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1Ｈ0／ｎ
ｎが奇数のとき，中央項はｎ−［（ｎ＋１）／２］次置換多面体柱柱・・・になる．
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