まず，ｎ＝３の置換多面体の体積が正しく算出できるかを調べてみたい．昨日中に計算に移りたかったのであるが，仕事の合間を縫っての作業であるから，なかなか進まないのは致し方なし．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　１次元置換多面体は線分，２次元置換多面体は六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．辺の長さを１に規格化すると

　　Ｖ1＝１，Ｖ2＝３√３／２

　　Ｖ3＝１／２（４／３）^3／（√２／３）^3＝１／２（４／√２）^3＝８√２

　切頂切稜点を（ｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3），Σｘ＝１とすると

　　ω＝１／（４＋６√２）

　　ｘ0＝（１＋３√２）ω

　　ｘ1＝（１＋２√２）ω

　　ｘ2＝（１＋√２）ω

　　ｘ3＝ω

これよりｈ0，ｈ1，ｈ2を求めたがＮＧ．そこで，再度，元の計算方法にも戻すことにした．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　３次元の場合，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　Ｖ4（０，０，０，１）

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１

をとるとしよう．

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｗ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離が等しいときである．点Ｐをｎ−１次元境界多面体上の点（ｗ＝０）として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２

　→　ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１

　→　ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０

一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として

　→　ｘ＝ｎ／Ｓ，ｙ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−２）／ｓ，・・・，ｗ＝０

　また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ）であるから，辺の長さは√２｜ｘ−ｙ｜＝√２／Ｓ．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　切頂切稜点を（ｘ0，ｘ1，ｘ2，ｘ3），Σｘ＝１とすると

　　ｘ0＝１／２，ｘ1＝１／３，ｘ2＝１／６，ｘ3＝０

これより

　　ｈ0＝６／１２，ｈ1＝√２６／１２，ｈ2＝√１２／１２

となって計算は簡単になったが，８枚の六角形と６枚の正方形からなる切頂八面体の体積は

　　Ｖ3＝（４Ｖ2ｈ0＋６Ｖ1ｈ1＋４Ｖ2ｈ2）／３（√２／Ｓ）≠８√２

　困ったものであるが，ここですぐ気づくことは８枚の六角形面までの距離がｈ0とｈ2とで異なっていることである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝