５次元正軸体版は１０個の４次元正軸体版＋４０個の３次元正軸体版柱＋８０個の（（２次元正軸体柱）柱＝八角柱柱，（２次元置換多面体柱）柱＝六角柱柱）＋８０個の３次元置換多面体柱＋３２個の４次元置換多面体となるはずである．

　この多面体は正軸体β5あるいは同じことではあるが超立方体γ5を切頂・切稜することによって構成することができる．したがって，超立方体γ5を切頂・切稜すると，３２個の４次元置換多面体＋８０個の３次元置換多面体柱＋８０個の（（２次元置換多面体柱）柱＝六角柱柱，（２次元正軸体柱）柱＝八角柱柱）＋４０個の３次元正軸体版柱＋１０個の４次元正軸体版となって，中央項８０個が八角柱柱４０個と六角柱柱４０個に割り当てられるものと思われる．

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【１】体積公式

　原正多胞体の面数公式を

　　置換多面体の場合・・・Ｎk^(n)＝n+1Ｃk+1

　　正軸体版の場合・・・・Ｎk^(n)＝２^(k+1)nＣk+1

また，規格化した後のｋ次元面までの距離をｈkとする．

［１］置換多面体の場合

　　Ｖn＝Ｎ0Ｖn-1ｈ0／ｎ＋Ｎ1Ｖn-2ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2ｈn-2／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1ｈn-1／ｎ

ｎが奇数のとき，中央項はｎ−［（ｎ＋１）／２］次置換多面体柱柱・・・になる．

［２］正軸体版の場合

　　Λn＝Ｎ0Λn-1ｈ0／ｎ＋Ｎ1Λn-2ｈ1／ｎ＋・・・＋Ｎn-2Ｖn-2ｈn-2／ｎ＋Ｎn-1Ｖn-1ｈn-1／ｎ

ｎが奇数のとき，中央項はｎ−［（ｎ＋１）／２］次置換多面体柱柱・・・と正軸体版柱柱・・・になる．

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【２】底面までの距離

［１］正軸体版の場合

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ＞０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋３√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋６√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋６√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは２ｗ

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω，辺の長さは２ω．

［ａ］胞心面までの距離

　胞心は（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）→１／√ｎ

［ｂ］辺心面までの距離

　切稜されていなければ辺心は（１／２，１／２，０，・・・，０）であるが，切稜されているので，中心は

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０，・・・，０）．

［ｃ］頂点面までの距離

　切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［２］置換多面体の場合

　３次元の場合，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　Ｖ4（０，０，０，１）

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１

をとるとしよう．

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｗ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離が等しいときである．点Ｐをｎ−１次元境界多面体上の点（ｗ＝０）として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２

　→　ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１

　→　ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０

一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として

　→　ｘ＝ｎ／Ｓ，ｙ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−２）／ｓ，・・・，ｗ＝０

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，ｗ）であるから，辺の長さは√２｜ｘ−ｙ｜＝√２／Ｓ．

［ａ］胞心面までの距離

　それぞれの胞心は

　　ｃ（Ａ）＝（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ，０）

であるから，それと中心座標

　　ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

の距離を求める．

［ｂ］辺心面までの距離

　切稜されていなければ辺心は（１／２，１／２，０，・・・，０）であるが，切稜されているので，中心は

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０，・・・，０）．

それと中心座標

　　ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

の距離を求める．

［ｃ］頂点面までの距離

　切頂されていなければ頂点は（１，０，・・・，０）であるが，切頂されているので，中心は（ｘ，０，・・・，０）．それと中心座標

　　ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

の距離を求める．

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